Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que
é uma transformação linear definida por
.
a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do
.
Ver solução completaa) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do
Questão 3
Considere o conjunto
, onde
e
são vetores em
, e
é a unidade imaginária.
(a) Mostre que
é linearmente dependente sobre o corpo dos números complexos
.
(b) Mostre que
é linearmente independente sobre o corpo dos números reais
.
Ver solução completa(a) Mostre que
(b) Mostre que
Questão 4
Determine a dimensão dos seguintes subespaços de
:
(O subespaço das matrizes simétricas)
Ver solução completaQuestão 5
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
e
e
Ver solução completaQuestão 6
Seja
uma curva parametrizada regular dada por
de modo que
a) Determine as possíveis formas de
.
b) Que tipo de curva é C.
Ver solução completab) Que tipo de curva é C.
Questão 7
Classifique a equação
ou
acima em circunferência, elipse, hipérbole, parábola, escreva-a na sua forma canônica reduzida.
Ver solução completaQuestão 10
Seja
o operador identidade (ou seja,
para todo
) e considere uma base
de
. Determine a matriz
que representa o operador
em relação à base
.
Ver solução completaQuestão 14
Sejam as variáveis aleatórias
e
, onde
e
. Obtenha a matriz de variância e covariância de
e verifique que é positiva semi definida.
Ver solução completaQuestão 15
Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
©
Ver solução completa©
Questão 17
Seja
uma matriz quadrada de ordem 2. Mostre que se
para toda matriz quadrada
de ordem 2, então existe
tal que
, onde
é a matrix identidade de ordem 2 .
Ver solução completaQuestão 19
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e)
;
Ver solução completa(e)
Questão 22
Considere o plano
e
a transformação linear dado por
.
(a) Encontre uma base
ortogonal de
com
.
(b) Determine
, onde
. Além disso, calcule
, onde
é a base canônica do
. Por que essa matriz é simétrica?
Ver solução completa(a) Encontre uma base
(b) Determine
Questão 23
Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos sistemas (método de Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
f)
Ver solução completaf)
Questão 24
Calcule o valor de
para que os pares de retas abaixo sejam coplanares.
Ver solução completaQuestão 25
Considere as bases
e
do
, e a transformaçào linear
tal que
.
Determine
.
Ver solução completaDetermine
Questão 27
Os vetores
e
são perpendiculares entre si e o vetor
é tal que
. Sabendo-se que
e
, calcule o produto interno:
.
Ver solução completaQuestão 29
Ache os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
Ver solução completaa)
b)
c)
d)
Questão 30
Dada a equação
, complete o quadrado para identificar o tipo de quadrica e suas propriedades.**
Ver solução completaQuestão 31
(UFPA-1990) J oão comprou 5 litros de vinho branco e 12 litros de vinho tinto, pagando um total de
. se o litro do vinho branco é
mais caro que o litro do vinho tinto, então o litro do vinho tinto e do branco custam respectivamente:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e)
e
Ver solução completaa)
b)
c)
d)
e)
Questão 32
Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
A transformação
, só é linear se
.
Ver solução completaA transformação
Questão 33
(a)
é um espaço vetorial que tem um vetor nalo-nulo, quantos vetores tem
?
(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
Ver solução completa(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
Questão 35
Dado um triângulo
, prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por
.
Ver solução completaQuestão 36
Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são
e o ponto
pertence à hipérbole.
Ver solução completaQuestão 37
Marque todas as opções para as coordenadas polares do ponto em que suas coordenadas cartesianas são
.
Ver solução completaQuestão 38
Considere os vetores
(b) Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores
.
Ver solução completa(b) Escreva o vetor
Questão 39
Um asteroide entra na atmosfera terrestre. Considerando um sistema de coordenadas retangulares com origem num ponto
da superfície da terra, onde existe um armamento capaz de destruir o asteroide, temos que a trajetória do asteroide é descrita por
.
(a) Prove que um míssil saindo do armamento com direção
intersecta a trajetória do asteroide.
Ver solução completa(a) Prove que um míssil saindo do armamento com direção
Questão 40
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
:
a.
;
b.
e
;
c.
.
Ver solução completaa.
b.
c.
Questão 42
Encontre o conjunto solução
do sistema linear homogêneo
Mostre que
é um subespaço do
. Dado o subespaço
, determine um sistema de geradores para o subespaço
.
Ver solução completaQuestão 44
Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
(a)
;
Ver solução completa(a)
Questão 45
Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
Ver solução completaQuestão 46
Em cada um dos pares de reagentes, qual é o melhor nucleófilo para uma reação SN2 no
em solução de metanol?
a)
or
Ver solução completaa)
Questão 48