Ex. 116 - Prove que a rotação em duas dimensões é comutativa, mas que em tres dimensões, não é.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em duas dimensões as rotações comutam (ou seja, aplicar uma depois da outra independe da ordem), enquanto em três dimensões isso não vale para rotações em eixos diferentes. Para isso vamos usar a representação matricial das rotações: em 2D as matrizes 2times2, em 3D as matrizes 3times3.

Passo 2

Em duas dimensões a rotação de um ângulo é dada pela matriz
\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.]
De modo análogo, a rotação de ângulo é com trocado por .

Passo 3

Vamos calcular o produto
\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} .]
Multiplicando elemento a elemento obtemos
\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi & \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi \end{pmatrix} = .]
Idêntico se invertermos a ordem, pois

Passo 4

Concluímos assim que
R2D(theta),R2D(phi) = R2D(phi),R2D(theta),
logo em 2D as rotações comutam.

Passo 5

Em três dimensões defina a rotação de ângulo em torno do eixo como
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix},]
e a rotação de ângulo em torno do eixo como
0 & 1 & 0 \ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculemos
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} = ,]
enquanto
0 & 1 & 0 \ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix} = .]
Os elementos mistos são diferentes (por exemplo, posição em uma é , na outra é ), mostrando que

Passo 7

Portanto em três dimensões há rotações que não comutam quando são em eixos distintos.

Resposta

Em 2D as rotações comutam porque R2D(theta+phi)=R2D(phi+theta), mas em 3D rotações em eixos diferentes (por exemplo Rx(alpha) e Ry(beta)) não comutam, pois Rx(alpha)Ry(beta)neq Ry(beta)Rx(alpha).

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