Ex. 116 - Prove que a rotação em duas dimensões é comutativa, mas que em tres dimensões, não é.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em duas dimensões as rotações comutam (ou seja, aplicar uma depois da outra independe da ordem), enquanto em três dimensões isso não vale para rotações em eixos diferentes. Para isso vamos usar a representação matricial das rotações: em
D as matrizes
, em
D as matrizes
.
Passo 2
Em duas dimensões a rotação de um ângulo
é dada pela matriz
\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.]
De modo análogo, a rotação de ângulo
é
com
trocado por
.
Passo 3
Vamos calcular o produto
\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} .]
Multiplicando elemento a elemento obtemos
\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi & \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi \end{pmatrix} = .]
Idêntico se invertermos a ordem, pois
Passo 4
Concluímos assim que
logo em
D as rotações comutam.
Passo 5
Em três dimensões defina a rotação de ângulo
em torno do eixo
como
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \
0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix},]
e a rotação de ângulo
em torno do eixo
como
0 & 1 & 0 \
-\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix}.]
Passo 6
Calculemos
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \
0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} = ,]
enquanto
0 & 1 & 0 \
-\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix} = .]
Os elementos mistos são diferentes (por exemplo, posição
em uma é
, na outra é
), mostrando que
Passo 7
Portanto em três dimensões há rotações que não comutam quando são em eixos distintos.
Resposta
Em
D as rotações comutam porque
, mas em
D rotações em eixos diferentes (por exemplo
e
) não comutam, pois
.