Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
m) Todas as matrizes
, com
par, onde a diagonal principal e a diagonal secundária tem somente números primos.
m) Todas as matrizes
Passo 1
O enunciado considera o conjunto de todas as matrizes
de ordem
, com
par, tais que todos os elementos da diagonal principal e da diagonal secundária são números primos (os demais elementos de
podem ser quaisquer números). Queremos saber se toda matriz desse conjunto é sempre inversível, nunca inversível, ou se há casos de ambos.
Passo 2
Uma matriz é inversível se, e somente se,
. Vamos ao caso mais simples,
. Nesse caso toda matriz desse conjunto tem a forma
onde
são primos. Seu determinante é
Escolhendo, por exemplo,
, todos primos, obtemos
logo
não é inversível. Por outro lado, tomando
e
, também todos primos, temos
e essa
é inversível.
Resposta
Podem ou não ter inversa.