Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
m) Todas as matrizes n times n, com n par, onde a diagonal principal e a diagonal secundária tem somente números primos.

Passo 1

O enunciado considera o conjunto de todas as matrizes A de ordem ntimes n, com n par, tais que todos os elementos da diagonal principal e da diagonal secundária são números primos (os demais elementos de A podem ser quaisquer números). Queremos saber se toda matriz desse conjunto é sempre inversível, nunca inversível, ou se há casos de ambos.

Passo 2

Uma matriz é inversível se, e somente se, det(A)neq0. Vamos ao caso mais simples, n=2. Nesse caso toda matriz desse conjunto tem a forma
A= p & r s & q ,
onde p,q,r,s são primos. Seu determinante é
det(A)=p,q - r,s
Escolhendo, por exemplo, p=q=r=s=3, todos primos, obtemos
det(A)=3cdot3 - 3cdot3 = 0,
logo A não é inversível. Por outro lado, tomando p=q=3 e r=s=2, também todos primos, temos
det(A)=3cdot3 - 2cdot2 = 9 - 4 = 5 neq 0,
e essa A é inversível.

Resposta

Podem ou não ter inversa.

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