Ex. 124 - Determine a tal que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores (0, a, 2 a)^top,(1,0,1)^top e (4,4,-2)^top em R^3 seja 1 .

Passo 1

O enunciado pede para achar a de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
v1 = (0,a,2a)^top, v2 = (1,0,1)^top, v3 = (4,4,-2)^top
seja igual a 1. Em geometria vetorial em R^3, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto, que coincide com o determinante da matriz cujas colunas são v1,v2,v3.

Passo 2

Formulamos a matriz cujas colunas são os vetores dados:
M = 0 & 1 & 4 a & 0 & 4 2a & 1 & -2
e lembramos que
Volume = l|det(M)r|

Passo 3

Vamos calcular det(M) por expansão na primeira linha:
det(M) =0cdot C11 +1cdot C12 +4cdot C13,
onde
C12 = (-1)^1+2 a & 4 2a & -2 = -1l(acdot(-2)-4cdot2ar) =10a,
C13 = (-1)^1+3 a & 0 2a & 1 = 1l(acdot1-0cdot2ar) =a
Logo,
det(M) = 1cdot(10a) + 4cdot a = 14a

Passo 4

Impondo l|det(M)r|=1 obtemos
|14a| = 1 Longrightarrow |a| = 114 Longrightarrow a = pm 114

Resposta

a = pm tfrac114

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