Ex. 243 - Quais são as isometrias que podemos ter em
, usando o produto de Frobenius?
Passo 1
O espaço das matrizes reais de ordem
, denotado
, torna-se um espaço com produto interno ao definirmos, para
,
A norma induzida é a norma de Frobenius
Queremos achar todas as transformações lineares
que preservam esse produto interno, ou seja, todas as isometrias lineares.
Passo 2
Mostramos que, dados
ortogonais em
, as aplicações
são isometrias. De fato, para a primeira, usando
e as propriedades de traço e ortogonalidade:
Analogamente verifica-se para
.
Passo 3
Para ver que não há outras isometrias lineares, usamos que as matrizes de posto
e norma
são pontos extremos da bola unitária em
. Toda isometria linear deve levar extremos em extremos, então leva cada
(com
,
) em outro de posto
, digamos
com
.
Passo 4
A partir dessa ação sobre os extremos e usando a aditividade de
mais o fato de preservar produto interno, mostra-se que existem matrizes ortogonais
e
tais que, para todo par
, ou
ou
Estendendo por linearidade a toda
, concluímos que toda isometria linear é de um destes dois tipos:
onde
.
Resposta
As isometrias lineares de
com o produto de Frobenius são exatamente todas as aplicações da forma
onde
e
são matrizes ortogonais em
.