Ex. 243 - Quais são as isometrias que podemos ter em Mn times n, usando o produto de Frobenius?

Passo 1

O espaço das matrizes reais de ordem n, denotado Mntimes n, torna-se um espaço com produto interno ao definirmos, para A,BinMntimes n,
lang<= A,Brang<= ;=;tr(A^TB)
A norma induzida é a norma de Frobenius
|A|F=raizlang<= A,Arang<==raiztr(A^TA)
Queremos achar todas as transformações lineares f:Mntimes ntoMntimes n que preservam esse produto interno, ou seja, todas as isometrias lineares.

Passo 2

Mostramos que, dados U,V ortogonais em R^n, as aplicações
X;mapsto;U,X,V e X;mapsto;U,X^T,V
são isometrias. De fato, para a primeira, usando lang<= A,Brang<==tr(A^TB) e as propriedades de traço e ortogonalidade:
llang<= U,A,V,;U,B,Vrrang<= =trl((UAV)^T(UBV)r) =trl(V^TA^TU^TUBVr) =tr(A^TB) =lang<= A,Brang<=
Analogamente verifica-se para Xmapsto U,X^T,V.

Passo 3

Para ver que não há outras isometrias lineares, usamos que as matrizes de posto 1 e norma 1 são pontos extremos da bola unitária em Mntimes n. Toda isometria linear deve levar extremos em extremos, então leva cada u,v^T (com u,vinR^n, |u|=|v|=1) em outro de posto 1, digamos
f(u,v^T)=x(u,v),y(u,v)^T,
com |x(u,v)|=|y(u,v)|=1.

Passo 4

A partir dessa ação sobre os extremos e usando a aditividade de f mais o fato de preservar produto interno, mostra-se que existem matrizes ortogonais U e V tais que, para todo par (u,v), ou
f(u,v^T) ;=; U,u;l(V,vr)^T,
ou
f(u,v^T) ;=; U,v;l(V,ur)^T
Estendendo por linearidade a toda Mntimes n, concluímos que toda isometria linear é de um destes dois tipos:
X;mapsto;U,X,V ou X;mapsto;U,X^T,V,
onde U,Vin O(n).

Resposta

As isometrias lineares de Mntimes n com o produto de Frobenius são exatamente todas as aplicações da forma
X ;mapsto; U,X,V ou X ;mapsto; U,X^T,V,
onde U e V são matrizes ortogonais em R^ntimes n.

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