Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
A: R^3 R^3, A(x, y, z)=(-3 y+4 z, 3 x-5 z,-4 x+5 y).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do núcleo (ker) da transformação linear A de R^3 em R^3 dada por A(x,y,z)=(-3y+4z,;3x-5z,;-4x+5y). O conteúdo principal é resolver o sistema linear que define A(x,y,z)=0.

Passo 2

Para achar ker(A), igualamos cada componente de A(x,y,z) a zero e obtemos o sistema:
-3y + 4z = 0
3x - 5z = 0
-4x + 5y = 0

Passo 3

Da segunda equação, isolamos x:
3x - 5z = 0 Rightarrow x = 53z

Passo 4

Da primeira equação, isolamos y:
-3y + 4z = 0 Rightarrow y = 43z

Passo 5

Substituindo x=tfrac53z e y=tfrac43z na terceira equação, vemos que ela se satisfaz identicamente:
-4l(53zr) + 5l(43zr) = l(-tfrac203 + tfrac203r)z = 0

Passo 6

Portanto, a única liberdade é o parâmetro z. Escrevendo z=t, temos:
x = 53t, y = 43t, z = t

Passo 7

Isso dá o vetor genérico
(x,y,z) = tl(tfrac53,tfrac43,1r)

Passo 8

Multiplicando por 3 para evitar frações, um vetor gerador do núcleo é (5,4,3). Logo,
ker(A) = span(5,4,3)

Resposta

Uma base para o núcleo de A é {(5,4,3)}.

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