Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base do núcleo (ker) da transformação linear A de
em
dada por
. O conteúdo principal é resolver o sistema linear que define
.
Passo 2
Para achar
, igualamos cada componente de
a zero e obtemos o sistema:
Passo 3
Da segunda equação, isolamos
:
Passo 4
Da primeira equação, isolamos
:
Passo 5
Substituindo
e
na terceira equação, vemos que ela se satisfaz identicamente:
Passo 6
Portanto, a única liberdade é o parâmetro
. Escrevendo
, temos:
Passo 7
Isso dá o vetor genérico
Passo 8
Multiplicando por 3 para evitar frações, um vetor gerador do núcleo é
. Logo,
Resposta
Uma base para o núcleo de A é {(5,4,3)}.