Ache o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x+e^{-x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x + e^{-x}}{x^2}.
Para resolver isso, vamos usar séries de Taylor em torno de x=0, pois elas permitem aproximar cada termo até a ordem necessária.

Passo 2

Expandimos cada parcela até ordem x^3:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \quad\Longrightarrow\quad x\cos x = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5),
e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4).

Passo 3

Somando as expansões:
x\cos x + e^{-x} = \Bigl(x - \frac{x^3}{2}\Bigr) + \Bigl(1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}\Bigr) + O(x^4) = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + O(x^4).

Passo 4

Dividindo por x^2:
\frac{x\cos x + e^{-x}}{x^2} = \frac{1}{x^2} + \frac12 - \frac{2x}{3} + O(x^2).

Passo 5

Quando x\to 0, o termo dominante \tfrac1{x^2} cresce sem limite (positivo), logo a fração diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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