Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
3 Se V=-5 p^{3 / 2} e \frac{d V}{d t}=-4 quando V=-40, determine \frac{d p}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre V e p como
V = -5\,p^{3/2}
e pede a taxa \frac{dp}{dt} sabendo que \frac{dV}{dt}=-4 quando V=-40.
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia em diferenciáveis.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dp}\,\frac{dp}{dt}.

Passo 3

Primeiro achamos o valor de p quando V=-40:
-40 = -5\,p^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad 5\,p^{3/2}=40 \quad\Longrightarrow\quad p^{3/2}=8 \quad\Longrightarrow\quad p=8^{2/3}=4.

Passo 4

Calculamos \frac{dV}{dp} e avaliamos em p=4:
\frac{dV}{dp} = -5\cdot\frac{3}{2}\,p^{1/2} = -\frac{15}{2}p^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dp}\Big|_{p=4} = -\frac{15}{2}\cdot2 = -15.
Usando \frac{dV}{dt}=-4 em \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dp}\,\frac{dp}{dt}, temos
-4 = -15\,\frac{dp}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dt} = \frac{4}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{dp}{dt} = \frac{4}{15}.

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