Em cada caso, identifique a cônica C, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de C e faça um esboço da curva no plano.
C: 3 rho cos theta=2-2 rho.

Passo 1

A equação polar dada é 3ρ cos θ = 2 – 2ρ. O conteúdo é conicas em coordenadas polares. Vamos precisar reescrever na forma padrão ρ = ed/(1 + e cos θ) para identificar tipo e parâmetros.

Passo 2

Isolando ρ:
3ρcosθ + 2ρ = 2 Longrightarrow ρ(2 + 3cosθ) = 2 Longrightarrow ρ = 22 + 3cosθ

Passo 3

Normalizando o denominador:
ρ = 22 + 3cosθ = 11 + tfrac32cosθ

Passo 4

Comparando com ρ = ed/(1 + e cos θ) vemos e = 3/2 > 1, logo é uma hipérbole com foco no polo e d = 1/e = 2/3. A diretriz associada é x = 2/3.

Passo 5

Passando para coordenadas cartesianas usamos ρ = √(x² + y²) e cosθ = x/ρ:
√x^2 + y^2 = 1 - 32x

Passo 6

Elevando ao quadrado e rearranjando:
x^2 + y^2 = 1 - 3x + 94x^2 Longrightarrow 5x^2 - 4y^2 -12x +4 = 0

Passo 7

Completando o quadrado em x:
5l(x-tfrac65r)^2 -4y^2 = tfrac165

Passo 8

Dividindo por 16/5 e escrevendo na forma padrão:
(x-tfrac65)^2tfrac1625 - y^2tfrac45 = 1

Passo 9

Da equação padrão identificamos: centro (h,k) = (6/5,0), a^2 = 16/25 → a = 4/5, b^2 = 4/5 → b = 2/√5. Então c^2 = a^2 + b^2 = 36/25 → c = 6/5.

Passo 10

Os vértices são (h±a, k) = (6/5±4/5, 0) → (2,0) e (2/5, 0). Os focos são (h±c, k) = (6/5±6/5,0) → (0,0) e (12/5,0). A excentricidade confirma e = c/a = (6/5)/(4/5) = 3/2.

Passo 11

O comprimento do latus rectum é 2b^2/a = 2·(4/5)/(4/5) = 2. O eixo transverso tem comprimento 2a = 8/5, e o conjugado 2b = 4/√5.

Passo 12

As diretrizes são x = h ± a/e = 6/5 ± (4/5)/(3/2) = 6/5 ± 8/15, isto é x = 2/3 e x = 26/15.

Passo 13

O esboço é uma hipérbole centrada em (6/5,0), abertura horizontal, passando pelos vértices e com foco no polo.

Resposta

Conica: hipérbole com foco no polo (0,0) e outro foco em (12/5,0).\nExcentricidade: e = 3/2.\nCentro: (6/5,0).\nVértices: (2,0) e (2/5,0).\nFocos: (0,0) e (12/5,0).\nDiretrizes: x = 2/3 (para o foco no polo) e x = 26/15.\nEixo transverso: 2a = 8/5.\nEixo conjugado: 2b = 4/√5.\nLatus rectum: 2.\nEquação cartesiana: 5(x-tfrac65)^2 - 4y^2 = tfrac165

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