Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
a) Todas as matrizes diagonais.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto de todas as matrizes quadradas que são diagonais e dizer se nesse conjunto as matrizes sempre têm inversa, nunca têm inversa ou podem ou não ter inversa. O que precisamos usar é o critério de invertibilidade via determinante: uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.
Passo 2
Uma matriz diagonal tem a forma\r
\r
O determinante de D é o produto dos elementos da diagonal:\r
det(D) = a1 ,a2 ,cdots, an = prodi=1^n ai
Passo 3
Pelo critério de determinante, D é invertível se, e somente se,\r
det(D)neq 0 Long<=ftrightarrow ai neq 0;para todo i=1,dots,n \r
Se algum ai for zero, então det(D)=0 e D não tem inversa; se todos os ai forem não nulos, então det(D)neq0 e D é invertível.
Passo 4
Como os valores a1,dots,an podem ou não ser zero, dentro do conjunto das matrizes diagonais temos exemplos de matrizes invertíveis (por exemplo diag(1,2,3)) e exemplos de matrizes não invertíveis (por exemplo diag(1,0,5)). Portanto, nem sempre têm inversa nem nunca têm: podem ou não.
Resposta
Podem ou não ter inversa.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jerônimo c. Pellegrini - Álgebra Linear - 130ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 90.a