Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
g) Todas as matrizes onde pelo menos
elementos são números primos.
g) Todas as matrizes onde pelo menos
Passo 1
O enunciado considera o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem
que têm pelo menos
entradas que são números primos. Queremos saber se qualquer matriz desse conjunto é sempre invertível, nunca invertível ou se algumas têm inversa e outras não. Para isso, vamos usar o conceito de determinante e a relação entre determinante não nulo e invertibilidade.
Passo 2
Mostramos que nem todas essas matrizes são inversíveis. Seja
um número primo qualquer e considere a matriz
Essa matriz tem
entradas iguais a
, logo satisfaz
. Mas todas as linhas de
são iguais, o que implica posto
e
Portanto
é singular e não tem inversa.
Passo 3
Agora mostramos que também há matrizes desse conjunto que são inversíveis. Basta exibir um exemplo de matriz com muitas entradas primas e determinante não nulo. Para
, por exemplo, tome
Aqui todas as
entradas são primas e
logo
é invertível. Isso mostra que dentro do mesmo conjunto há matrizes com inversa.]
Resposta
Podem ou não ter inversa.