Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
g) Todas as matrizes onde pelo menos n^2-n+1 elementos são números primos.

Passo 1

O enunciado considera o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n que têm pelo menos
n^2 - n + 1
entradas que são números primos. Queremos saber se qualquer matriz desse conjunto é sempre invertível, nunca invertível ou se algumas têm inversa e outras não. Para isso, vamos usar o conceito de determinante e a relação entre determinante não nulo e invertibilidade.

Passo 2

Mostramos que nem todas essas matrizes são inversíveis. Seja p um número primo qualquer e considere a matriz
A = l[aijr]i,j=1^n, aij = p forall i,j
Essa matriz tem n^2 entradas iguais a p, logo satisfaz n^2 >= n^2 - n + 1. Mas todas as linhas de A são iguais, o que implica posto ,(A)=1<n e
det(A)=0
Portanto A é singular e não tem inversa.

Passo 3

Agora mostramos que também há matrizes desse conjunto que são inversíveis. Basta exibir um exemplo de matriz com muitas entradas primas e determinante não nulo. Para n=2, por exemplo, tome
B = 2 & 3 [6pt] 5 & 7
Aqui todas as 4 entradas são primas e
det(B) = 2 cdot 7 - 3 cdot 5 = 14 - 15 = -1 neq 0,
logo B é invertível. Isso mostra que dentro do mesmo conjunto há matrizes com inversa.]

Resposta

Podem ou não ter inversa.

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