Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
d) Todas as matrizes onde mais da metade dos elementos é composta de zeros.
d) Todas as matrizes onde mais da metade dos elementos é composta de zeros.
Passo 1
O enunciado quer analisar o conjunto de todas as matrizes quadradas
tais que mais da metade dos seus
elementos são zeros. O objetivo é decidir se, dentro desse conjunto, as matrizes são sempre invertíveis, nunca invertíveis, ou se podem ocorrer dos dois casos. Para isso vamos usar as noções de determinante (inversibilidade
determinante ne3o nulo) e dar exemplos que mostram existeancia de casos singulares e casos invertedveis.
Passo 2
Mostramos que existem matrizes desse tipo que NÃO têm inversa (são singulares). Basta garantir uma linha (ou coluna) toda zerada, pois aí o determinante fica automaticamente zero. Por exemplo, tome uma matriz
cuja primeira linha é toda zero e complete o restante com zeros até que o total de zeros exceda
. Em particular, a primeira linha já dá
zeros, e podemos zerar entradas em outras linhas para atingir “mais da metade” de zeros. Logo existem matrizes no conjunto com
.
Passo 3
Mostramos agora que existem matrizes do mesmo tipo que SÃO invertíveis. Considere a matriz identidade
. Ela tem exatamente
elementos iguais a
e
elementos iguais a
. O número de zeros em
é
Portanto, para todo
, a identidade
pertence ao conjunto (mais da metade de zeros) e ainda tem
, isto é, é invertível.
Passo 4
Conclusão geral para qualquer
:
- Se
ou , toda matriz com mais de metade de zeros é necessariamente singular (não invertível), pois em e com essa quantidade de zeros não há como ter determinante não nulo. - Se
, o conjunto contém tanto matrizes singulares (por exemplo, com linha zerada) quanto matrizes invertíveis (por exemplo, ).
Resposta
Podem ou não ter inversa.