Calcular a integral.
\int \frac{1}{x \sqrt{9+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x \sqrt{9+x^{2}}}\,d x.
O método que vamos usar é a substituição trigonométrica, aproveitando que aparece \sqrt{x^2+9}. Em particular, faremos x=3\tan\theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 3\tan\theta, \quad d x = 3\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, \quad \sqrt{9+x^2} = \sqrt{9+9\tan^2\theta} = 3\operatorname{sec}\theta.
Logo o integrando fica
\frac{1}{x\sqrt{9+x^2}}\,d x = \frac{1}{(3\tan\theta)\,(3\operatorname{sec}\theta)}\,(3\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta) = \frac{3\operatorname{sec}^2\theta}{9\,\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\,\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta.
E como \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}=\frac{1/\cos\theta}{\sin\theta/\cos\theta}=\csc\theta, temos
\int \frac{1}{x\sqrt{9+x^2}}\,d x = \frac{1}{3}\int \csc\theta\,d\theta.

Passo 3

Usamos a primitiva conhecida
\int \csc\theta\,d\theta = -\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.
Portanto
\frac{1}{3}\int \csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{3}\,\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 4

Fazendo de volta para x: de x=3\tan\theta segue
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}, \quad \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{x^2+9}},
então
\csc\theta + \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{x^2+9}}{x} + \frac{3}{x} = \frac{\sqrt{x^2+9}+3}{x}.
Substituindo em (3) obtemos
\int \frac{1}{x\sqrt{9+x^2}}\,d x = -\frac{1}{3}\ln\!\biggl|\frac{\sqrt{x^2+9}+3}{x}\biggr| + C.
Podemos ainda escrever de modo equivalente
\frac{1}{3}\ln\biggl|\frac{x}{\sqrt{x^2+9}+3}\biggr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{x\sqrt{9+x^{2}}}\,d x = -\frac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{\sqrt{x^2+9}+3}{x}\Bigr| + C = \frac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^2+9}+3}\Bigr| + C.

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