Calcule a distância do ponto P(3,2,1) à reta r que passa pelos pontos A(-1,0,2) e B(0,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(3,2,1) à reta r que passa por A(-1,0,2) e B(0,2,1). O conteúdo aqui é geometria vetorial em \mathbb{R}^3, e usaremos a fórmula da distância de um ponto a uma reta expressa por vetores. Se \vec{AB} é o vetor diretor da reta e \vec{AP} é o vetor do ponto A a P, então
d = \frac{\|\vec{AP}\times\vec{AB}\|}{\|\vec{AB}\|}.

Passo 2

Vamos calcular primeiro os vetores \vec{AB} e \vec{AP}.
\vec{AB} = B - A = (0 - (-1),\,2-0,\,1-2) = (1,\,2,\,-1),
\vec{AP} = P - A = (3 - (-1),\,2-0,\,1-2) = (4,\,2,\,-1).

Passo 3

Agora computamos o produto vetorial \vec{AP}\times\vec{AB}:
\vec{AP}\times\vec{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & 2 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \bigl(2\cdot(-1)-(-1)\cdot2,\,-\bigl(4\cdot(-1)-(-1)\cdot1\bigr),\,4\cdot2-2\cdot1\bigr) = (0,\,3,\,6).
O m’odulo desse vetor 'e
\|\vec{AP}\times\vec{AB}\| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.

Passo 4

Falta o módulo de \vec{AB}:
\|\vec{AB}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}.
Logo, a distância é
d = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{2}.

Resposta

\frac{\sqrt{30}}{2}.

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