Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \ln (1+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos um logaritmo que fica mais simples ao diferenciarmos.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
Escolhemos
u = \ln(1+x),\quad dv = dx
Então
du = \frac{1}{1+x}\,dx,\quad v = x
Logo
\int \ln(1+x)\,dx = x\ln(1+x) - \int x\cdot\frac{1}{1+x}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int \frac{x}{1+x}\,dx
fazemos a divisão
\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}
e integramos:
\int\frac{x}{1+x}\,dx = \int 1\,dx - \int\frac{1}{1+x}\,dx = x - \ln(1+x).

Passo 4

Substituindo de volta, uma primitiva é
F(x) = x\ln(1+x) - \bigl(x - \ln(1+x)\bigr) = (x+1)\ln(1+x) - x.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
F(1) = 2\ln(2) - 1,\quad F(0)=1\cdot\ln(1)-0=0
Portanto
\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx = F(1)-F(0) = 2\ln(2) - 1.

Resposta

2\ln(2) - 1

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