Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int \frac{x}{(x^{2}+5)^{3}} d x ;
u=x^{2}+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{(x^{2}+5)^{3}}\,dx
usando a substituição u=x^{2}+5. O conteúdo aqui é integração por substituição, onde vamos trocar a variável x por u para simplificar a potência no denominador.

Passo 2

Derivando u em relação a x, temos
du = 2x\,dx
Logo,
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo u=x^{2}+5 e x\,dx=\tfrac{du}{2} na integral, obtemos
\int \frac{x}{(x^{2}+5)^{3}}\,dx = \int \frac{\frac{du}{2}}{u^{3}} = \frac{1}{2}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar em u:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C.
Multiplicando por \tfrac12, temos
\frac{1}{2}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}u^{-2} + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u=x^{2}+5:
-\frac{1}{4}u^{-2} + C = -\frac{1}{4\,(x^{2}+5)^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{4\,(x^{2}+5)^{2}} + C

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