25.22 Calcule a soma dos números de 4 dígitos que podem ser formados com
se cada dígito é usado uma única vez em cada arranjo.
SOLUÇÃO
Passo 1
O enunciado pede a soma de todos os números de 4 dígitos formados pelos algarismos 2, 5, 3 e 8, sem repetir nenhum deles. Para resolver vamos usar permutações e a ideia de que cada dígito aparece igualmente em cada posição decimal.
Passo 2
Existem
permutações possíveis, mas em vez de listar todas, exploramos a simetria: em todas as permutações cada dígito ocupa cada posição (unidades, dezenas, centenas e milhares) o mesmo número de vezes.
Em permutações de elementos, cada elemento aparece
vezes em cada posição. Aqui
, então cada dígito aparece
Em permutações de
vezes em cada casa decimal.
Passo 3
Seja
A contribuição total de uma casa decimal de valor
é
. Somando sobre as quatro casas, a soma de todos os números é
Substituindo
temos
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Resposta
119988