25.22 Calcule a soma dos números de 4 dígitos que podem ser formados com 2,5,3,8 se cada dígito é usado uma única vez em cada arranjo.

SOLUÇÃO

Passo 1

O enunciado pede a soma de todos os números de 4 dígitos formados pelos algarismos 2, 5, 3 e 8, sem repetir nenhum deles. Para resolver vamos usar permutações e a ideia de que cada dígito aparece igualmente em cada posição decimal.

Passo 2

Existem 4! = 24 permutações possíveis, mas em vez de listar todas, exploramos a simetria: em todas as permutações cada dígito ocupa cada posição (unidades, dezenas, centenas e milhares) o mesmo número de vezes.
Em permutações de n elementos, cada elemento aparece (n-1)! vezes em cada posição. Aqui n=4, então cada dígito aparece
3! = 6
vezes em cada casa decimal.

Passo 3

Seja
S = 2 + 5 + 3 + 8 = 18
A contribuição total de uma casa decimal de valor vin1,10,100,1000 é 6 cdot S cdot v. Somando sobre as quatro casas, a soma de todos os números é
6 cdot S cdot (1 + 10 + 100 + 1000)
Substituindo S=18 temos
6 cdot 18 = 108,
1 + 10 + 100 + 1000 = 1111,
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Soma = 108 cdot 1111 = 119,988

Resposta

119988

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