Dos círculos se cortam nos pontos
e
. Pelo ponto
traçamos uma reta que corta o primeiro círculo num ponto
e o segundo círculo num ponto
. Mostre que a medida do ângulo
não depende da reta traçada.
Passo 1
Temos dois círculos que se intersectam nos pontos
e
. Traçamos uma reta qualquer passando por
, que corta o primeiro círculo novamente em
e o segundo em
. Queremos mostrar que o ângulo
é sempre o mesmo, independentemente da reta escolhida. O conteúdo principal é o teorema do ângulo entre tangente e corda (segmento alterno) e a ideia de somar ângulos ao redor de
.
Passo 2
Sejam
e
as tangentes aos dois círculos em
. Essas tangentes são fixas, pois dependem apenas dos círculos. Pelo teorema do segmento alterno em cada círculo temos:
onde
é o menor ângulo entre a reta tangent
e o segmento
, e similarmente para
.
Passo 3
Agora, ao redor de
, as três direções
,
,
,
formam um giro completo de
. Se tomarmos apenas a soma dos três ângulos internos
eles somam exatamente o ângulo entre
e
. Logo,
Mas
são colineares, então
. Assim
Tomando sempre o menor dos ângulos, concluímos que
é igual ao ângulo fixo entre as tangentes
e
.
Resposta
O valor de
coincide com o ângulo entre as tangentes aos dois círculos em
, que é fixo. Portanto
não depende da reta que escolhemos.