Dos círculos se cortam nos pontos A e B. Pelo ponto B traçamos uma reta que corta o primeiro círculo num ponto X e o segundo círculo num ponto Y. Mostre que a medida do ângulo X A Y não depende da reta traçada.

Passo 1

Temos dois círculos que se intersectam nos pontos A e B. Traçamos uma reta qualquer passando por B, que corta o primeiro círculo novamente em X e o segundo em Y. Queremos mostrar que o ângulo ang<= XAY é sempre o mesmo, independentemente da reta escolhida. O conteúdo principal é o teorema do ângulo entre tangente e corda (segmento alterno) e a ideia de somar ângulos ao redor de A.

Passo 2

Sejam ell1 e ell2 as tangentes aos dois círculos em A. Essas tangentes são fixas, pois dependem apenas dos círculos. Pelo teorema do segmento alterno em cada círculo temos:
ang<=(ell1,AX)=ang<= ABX, ang<=(AY,ell2)=ang<= ABY,
onde ang<=(ell1,AX) é o menor ângulo entre a reta tangent ell1 e o segmento AX, e similarmente para ang<=(AY,ell2).

Passo 3

Agora, ao redor de A, as três direções ell1, AX, AY, ell2 formam um giro completo de 360^circ. Se tomarmos apenas a soma dos três ângulos internos
ang<=(ell1,AX)+ang<= XAY+ang<=(AY,ell2),
eles somam exatamente o ângulo entre ell1 e ell2. Logo,
ang<=(ell1,ell2) =ang<=(ell1,AX)+ang<= XAY+ang<=(AY,ell2) =ang<= ABX+ang<= XAY+ang<= ABY
Mas X,B,Y são colineares, então ang<= ABX+ang<= ABY=180^circ. Assim
ang<=(ell1,ell2)=180^circ+ang<= XAY Longrightarrow ang<= XAY=ang<=(ell1,ell2)-180^circ
Tomando sempre o menor dos ângulos, concluímos que ang<= XAY é igual ao ângulo fixo entre as tangentes ell1 e ell2.

Resposta

O valor de ang<= XAY coincide com o ângulo entre as tangentes aos dois círculos em A, que é fixo. Portanto ang<= XAY não depende da reta que escolhemos.

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