Prove que se dois círculos são tangentes, a reta dos centros passa pelo ponto de contacto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas circunferências gamma1 e gamma2 com centros O1 e O2 que se tocam em exatamente um ponto T, o ponto de contato T fica sobre a reta que une O1 a O2. O conteúdo principal é geometria de círculos e tangentes, e vamos usar que o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de contato.

Passo 2

Em qualquer circunferência, a reta tangente ao círculo no ponto T é perpendicular ao raio que chega a T. Formalmente, se t é a reta tangente à gammai em T, então
OiT ;perp; t

Passo 3

Como gamma1 e gamma2 são tangentes em T, existe uma única reta t que toca as duas circunferências em T. Logo, para cada i=1,2,
OiT ;perp; t

Passo 4

Duas retas que passam por um mesmo ponto T e são ambas perpendiculares à mesma reta t coincidem entre si. Portanto as duas retas O1T e O2T são a mesma reta, o que quer dizer que O1, T e O2 estão alinhados.

Resposta

O ponto de contato T pertence à reta dos centros O1O2.

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