Classifique cada permutação de 1,2,3,4 como par ou ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como par ou ímpar cada permutação do conjunto 1,2,3,4. O conteúdo usado é a definição de paridade de uma permutação: uma permutação é par se o número de inversões é par, e ímpar se esse número for ímpar.

Passo 2

Para contar inversões em uma permutação (a1,a2,a3,a4), enumeramos todos os pares (i,j) com i<j tais que ai>aj. O total dessas ocorrências é o número de inversões. Se esse total for par, a permutação é par; se for ímpar, a permutação é ímpar.

Passo 3

Listamos abaixo todas as 24 permutações em ordem lexicográfica, calculamos o número de inversões e indicamos sua paridade:
lll (1,2,3,4):&inversões=0&Rightarrowpar (1,2,4,3):&inversões=1&Rightarrowímpar (1,3,2,4):&inversões=1&Rightarrowímpar (1,3,4,2):&inversões=2&Rightarrowpar (1,4,2,3):&inversões=2&Rightarrowpar (1,4,3,2):&inversões=3&Rightarrowímpar (2,1,3,4):&inversões=1&Rightarrowímpar (2,1,4,3):&inversões=2&Rightarrowpar (2,3,1,4):&inversões=2&Rightarrowpar (2,3,4,1):&inversões=3&Rightarrowímpar (2,4,1,3):&inversões=3&Rightarrowímpar (2,4,3,1):&inversões=4&Rightarrowpar (3,1,2,4):&inversões=2&Rightarrowpar (3,1,4,2):&inversões=3&Rightarrowímpar (3,2,1,4):&inversões=3&Rightarrowímpar (3,2,4,1):&inversões=4&Rightarrowpar (3,4,1,2):&inversões=4&Rightarrowpar (3,4,2,1):&inversões=5&Rightarrowímpar (4,1,2,3):&inversões=3&Rightarrowímpar (4,1,3,2):&inversões=4&Rightarrowpar (4,2,1,3):&inversões=3&Rightarrowímpar (4,2,3,1):&inversões=5&Rightarrowímpar (4,3,1,2):&inversões=5&Rightarrowímpar (4,3,2,1):&inversões=6&Rightarrowpar õõíõíõõõíõíõõõíõíõõõíõíõõõíõíõõíõíõíõ

Resposta

(1,2,3,4): par
(1,2,4,3): ímpar
(1,3,2,4): ímpar
(1,3,4,2): par
(1,4,2,3): par
(1,4,3,2): ímpar
(2,1,3,4): ímpar
(2,1,4,3): par
(2,3,1,4): par
(2,3,4,1): ímpar
(2,4,1,3): ímpar
(2,4,3,1): par
(3,1,2,4): par
(3,1,4,2): ímpar
(3,2,1,4): ímpar
(3,2,4,1): par
(3,4,1,2): par
(3,4,2,1): ímpar
(4,1,2,3): ímpar
(4,1,3,2): par
(4,2,1,3): ímpar
(4,2,3,1): ímpar
(4,3,1,2): ímpar
(4,3,2,1): par

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