Encontre uma base de N(A), de R(A^*) e de R(A^T). Mostre que
N(A) perp R(A^*), mas N(A) neq R(A^T)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = i & -i & 1 0 & 1 & 2i ,
queremos achar bases de N(A), R(A^*) e R(A^T), mostrar que N(A)perpR(A^*) e que N(A)neqR(A^T). Para isso vamos (i) resolver Ax=0, (ii) calcular A^*=bar A^T e A^T e extrair suas colunas, (iii) verificar ortogonalidade pelo produto interno e comparar dimensões.
Passo 2
Resolvendo
Substituindo em é
Passo 3
Calculamos . Como
temos
As colunas de geram , logo uma base é
Passo 4
Para A^T, basta transpor sem conjugar:
A^T = i & 0 -,i & 1 1 & 2i
As colunas de A^T formam uma base de R(A^T), isto é
i-i1, 012i
Passo 5
Mostramos . Seja
e as geradoras de sejam
, .
Usamos o produto interno :
Logo e .
Passo 6
Para ver que , basta notar que enquanto . Como subespaços de com dimensões diferentes não podem coincidir, concluímos
Resposta
Base de N(A): (-i,-2i,1)^T.
Base de R(A^*): (-i,i,1)^T,,(0,1,-2i)^T.
Base de R(A^T): (i,-i,1)^T,,(0,1,2i)^T.
Além disso N(A)perpR(A^*) e N(A)neqR(A^T).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Thelmo de Araújo - Álgebra Linear, Teoria e Aplicação - 1ª Edição - Capítulo 5.5.3 - Ex. 5.3.2