5.3.2 Considere
A=[ccc i & -i & 1 0 & 1 & 2 i ]
Encontre uma base de N(A), de R(A^*) e de R(A^T). Mostre que
N(A) perp R(A^*), mas N(A) neq R(A^T)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = i & -i & 1 0 & 1 & 2i ,
queremos achar bases de N(A), R(A^*) e R(A^T), mostrar que N(A)perpR(A^*) e que N(A)neqR(A^T). Para isso vamos (i) resolver Ax=0, (ii) calcular A^*=bar A^T e A^T e extrair suas colunas, (iii) verificar ortogonalidade pelo produto interno e comparar dimensões.

Passo 2

Resolvendo
Substituindo em é

Passo 3

Calculamos . Como
temos
As colunas de geram , logo uma base é

Passo 4

Para A^T, basta transpor sem conjugar:
A^T = i & 0 -,i & 1 1 & 2i
As colunas de A^T formam uma base de R(A^T), isto é
i-i1, 012i

Passo 5

Mostramos . Seja

e as geradoras de sejam
,
.
Usamos o produto interno :
Logo e .

Passo 6

Para ver que , basta notar que
enquanto . Como subespaços de com dimensões diferentes não podem coincidir, concluímos

Resposta

Base de N(A): (-i,-2i,1)^T.
Base de R(A^*): (-i,i,1)^T,,(0,1,-2i)^T.
Base de R(A^T): (i,-i,1)^T,,(0,1,2i)^T.
Além disso N(A)perpR(A^*) e N(A)neqR(A^T).

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