4.2.2 Considere uma matriz
e a matriz elementar
. Mostre como realizar a mesma troca de linhas utilizando quatro matrizes elementares dos outros tipos, i.e.,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a matriz elementar de troca de linhas
(numa matriz )
como produto de quatro matrizes elementares dos tipos
(escala uma linha
por
)
e
(soma
vezes a linha
à linha
).
Vamos construir passo a passo operações que, em sequência, efetuem trocar a linha 2 com a 3.
(numa matriz
como produto de quatro matrizes elementares dos tipos
e
Vamos construir passo a passo operações que, em sequência, efetuem trocar a linha 2 com a 3.
Passo 2
Primeiro, somamos à linha 2 a linha 3, isto é
que corresponde à matriz elementar
.
Passo 3
Em seguida, queremos preparar a linha 3 para receber o conteúdo antigo da 2. Fazemos
via
.
Agora a linha 3 guarda .
Agora a linha 3 guarda
Passo 4
Agora somamos o novo
(que vale
originais) à linha 3:
isto é
.
Após isso, a linha 3 tornou-se
Após isso, a linha 3 tornou-se
Passo 5
Falta deixar em
a origem de
. Subtraímos a nova linha 3 da linha 2:
que é
.
Então
Então