4.2.2 Considere uma matriz 3 times 3 e a matriz elementar P23. Mostre como realizar a mesma troca de linhas utilizando quatro matrizes elementares dos outros tipos, i.e., Ei(alpha) e Ei j(beta).

Passo 1

O enunciado pede para expressar a matriz elementar de troca de linhas
P23
(numa matriz 3times3)
como produto de quatro matrizes elementares dos tipos
,Ei(alpha) (escala uma linha i por alpha)
e
,Eij(beta) (soma beta vezes a linha j à linha i).
Vamos construir passo a passo operações que, em sequência, efetuem trocar a linha 2 com a 3.

Passo 2

Primeiro, somamos à linha 2 a linha 3, isto é
(operação 1): R2 R2 + R3 çã
que corresponde à matriz elementar
E23(1).

Passo 3

Em seguida, queremos preparar a linha 3 para receber o conteúdo antigo da 2. Fazemos
(operação 2): R3 -1cdot R3 çã
via
E3(-1).
Agora a linha 3 guarda -,(ori>=m de R3).

Passo 4

Agora somamos o novo R2 (que vale R2+R3 originais) à linha 3:
(operação 3): R3 R3 + R2 çã
isto é
E32(1).
Após isso, a linha 3 tornou-se
-,(ori>=m de R3) ;+;(ori>=m de R2 + ori>=m de R3) ;=;ori>=m de R2

Passo 5

Falta deixar em R2 a origem de R3. Subtraímos a nova linha 3 da linha 2:
(operação 4): R2 R2 - R3 çã
que é
E23(-1).
Então
(ori>=m de R2 + ori>=m de R3) - (ori>=m de R2) ;=;ori>=m de R3

Resposta

P23 ;=; E23(-1);cdot;E32(1);cdot;E3(-1);cdot;E23(1)

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