Considere a matriz de transição
P=[lll 0,2 & 0,1 & 0,7 0,6 & 0,4 & 0,2 0,2 & 0,5 & 0,1 ]
(a) Calcule x^(1), x^(2) e x^(3) até três casas decimais se
x^(0)=[l 0 0 1 ]
(b) Enuncie por que P é regular e encontre seu vetor de estado estacionário.

Passo 1

O enunciado nos dá uma cadeia de Markov em três estados com matriz de transição coluna–estocástica
P = 0,2 & 0,1 & 0,7 0,6 & 0,4 & 0,2 0,2 & 0,5 & 0,1
e vetor inicial
x^(0) = 001
Como P é coluna–estocástica, a evolução é
x^(n+1) = P, x^(n)
Vamos calcular x^(1), x^(2) e x^(3) com três casas decimais.

Passo 2

Para x^(1) temos
x^(1) = P, x^(0) = terceira coluna de P = 0,70,20,1 approx 0,7000,2000,100

Passo 3

Para x^(2) calculamos
x^(2) = P, x^(1) = 0,70,20,60,2 +0,20,10,40,5 +0,10,70,20,1 = 0,230,520,25 approx 0,2300,5200,250

Passo 4

Para x^(3) fazemos
x^(3) = P, x^(2) =0,230,20,60,2 +0,520,10,40,5 +0,250,70,20,1 = 0,2730,3960,331 approx 0,2730,3960,331

Passo 5

A matriz P é regular porque todos os seus elementos são estritamente positivos. Logo, para k=1 já temos P^1>0, o que caracteriza regularidade.

Passo 6

O vetor de estado estacionário x satisfaz
x = P, x, sumi=1^3 xi = 1
Isso gera o sistema
x1 = 0,2,x1 + 0,1,x2 + 0,7,x3, x2 = 0,6,x1 + 0,4,x2 + 0,2,x3, x1+x2+x3 = 1
Resolvendo, obtemos em forma racional
x = 172222921 Longrightarrow x approx 0,3060,4030,292

Resposta

(a)
x^(1)approx (0,700,,0,200,,0,100)^T,
x^(2)approx (0,230,,0,520,,0,250)^T,
x^(3)approx (0,273,,0,396,,0,331)^T
(b)
P é regular porque todos os seus elementos são positivos.
O estado estacionário é
x=172(22,,29,,21)^Tapprox (0,306,,0,403,,0,292)^T

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