Considere os pontos A(3,2) e B(8,6). Determine as coordenadas do ponto P , pertencente ao eixo O x, de modo que os segmentos \overline{P A} e \overline{P B} tenham o mesmo comprimento.

Passo 1

O enunciado pede um ponto P sobre o eixo Ox (ou seja, P=(x,0)) tal que a distância de P a A(3,2) seja igual à distância de P a B(8,6). O conteúdo que vamos usar é a fórmula da distância no plano cartesiano: para P=(x,y) e Q=(x_0,y_0),
d(P,Q)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.

Passo 2

Assumimos P=(x,0). Então
PA = \sqrt{(x-3)^2 + (0-2)^2} \quad\text{e}\quad PB = \sqrt{(x-8)^2 + (0-6)^2}.
Queremos PA = PB.

Passo 3

Igualando as distâncias e elevando ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
(x-3)^2 + (0-2)^2 \;=\;(x-8)^2 + (0-6)^2.
Como (0-2)^2=4 e (0-6)^2=36, isso vira
(x-3)^2 + 4 = (x-8)^2 + 36.

Passo 4

Expandindo os quadrados:
x^2 - 6x +9 + 4 = x^2 -16x +64 +36
x^2 -6x +13 = x^2 -16x +100.
Cancelamos x^2 dos dois lados e resolvemos para x:
-6x +13 = -16x +100 \;\;\Longrightarrow\;\; 10x = 87 \;\;\Longrightarrow\;\; x = \frac{87}{10}.

Passo 5

Como P está no eixo Ox, sua ordenada é zero. Logo o ponto procurado é
P\bigl(\tfrac{87}{10},\,0\bigr).

Resposta

P\bigl(\tfrac{87}{10},0\bigr)

Exercícios de Livros Relacionados