Considere as seguintes operações em :
respectivamente como “adição” e “multiplicação”. Mostre que ( ) é um anel. Qual o zero deste anel? É um anel comutativo? Tem unidade? Se tiver, qual é? É um anel de integridade?
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Queremos mostrar que
satisfaz os axiomas de um anel, identificar o elemento zero, verificar se é comutativo, se tem unidade e se é domínio de integridade.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
então pois é fechado em soma. - Associatividade:
e
- Elemento neutro: existe
tal que . - Inverso: para
o inverso é , pois . - Comutatividade:
Passo 3
Mostramos que
é associativa e distributiva sobre
.
- Associatividade de
:
e
e como
, as duas expressões coincidem.
2. Distributividade: por exemplo à esquerda
2. Distributividade: por exemplo à esquerda
e a distributividade à direita é análoga.
Passo 4
O elemento zero do anel é o elemento neutro da adição, ou seja
.
Passo 5
A multiplicação é comutativa porque
já que a multiplicação em
é comutativa.
Passo 6
Procuramos
tal que
para todo
.
implica
e
para todo
, o que só ocorre se
e
. Portanto a unidade é
.
Passo 7
Para ser domínio de integridade não pode haver divisores de zero não nulos. Mas
com
. Logo há divisores de zero e não é domínio de integridade.
Resposta
O par
é um anel.
O zero do anel é .
É um anel comutativo.
Tem unidade, que é .
Não é um anel de integridade (há divisores de zero).
O zero do anel é
É um anel comutativo.
Tem unidade, que é
Não é um anel de integridade (há divisores de zero).