Considere as seguintes operações em :
respectivamente como “adição” e “multiplicação”. Mostre que ( ) é um anel. Qual o zero deste anel? É um anel comutativo? Tem unidade? Se tiver, qual é? É um anel de integridade?
Z times Z
(a, b) *(c, d)=(a+c, b+d)
(a, b) cdot(c, d)=(a c, a d+b c)
(Z times Z, *, cdot)

Passo 1

O enunciado define em ZtimesZ as operações
(a,b)*(c,d)=(a+c,;b+d),
(a,b)cdot(c,d)=(a,c,;a,d+b,c)
Queremos mostrar que (ZtimesZ,*,cdot) satisfaz os axiomas de um anel, identificar o elemento zero, verificar se é comutativo, se tem unidade e se é domínio de integridade.

Passo 2

Verificamos que (ZtimesZ,*) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: se (a,b),(c,d)inZtimesZ então (a+c,b+d)inZtimesZ pois Z é fechado em soma.
  2. Associatividade:
((a,b)*(c,d))*(e,f) =(a+c,;b+d)*(e,f) =(a+c+e,;b+d+f)
e
(a,b)*((c,d)*(e,f)) =(a,b)*(c+e,;d+f) =(a+c+e,;b+d+f)
  1. Elemento neutro: existe (0,0) tal que (a,b)*(0,0)=(a,b).
  2. Inverso: para (a,b) o inverso é (-a,-b), pois (a,b)*(-a,-b)=(0,0).
  3. Comutatividade:
(a,b)*(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)*(a,b)

Passo 3

Mostramos que cdot é associativa e distributiva sobre *).
  1. Associatividade de cdot:
((a,b)cdot(c,d))cdot(e,f) =(a,c,;a,d+b,c)cdot(e,f) =(a,c,e,;a,c,f+(a,d+b,c)e)
e
(a,b)cdot((c,d)cdot(e,f)) =(a,b)cdot(c,e,;c,f+d,e) =(a,c,e,;a(c,f+d,e)+b(c,e)),
e como a(c,f+d,e)+b(c,e)=a,c,f+a,d,e+b,c,e, as duas expressões coincidem.
2. Distributividade: por exemplo à esquerda
(a,b)cdotl((c,d)*(e,f)r) =(a,b)cdot(c+e,;d+f) =(a(c+e),;a(d+f)+b(c+e))
=(a,c+a,e,;a,d+a,f+b,c+b,e) =(a,c,;a,d+b,c)*(a,e,;a,f+b,e) =(a,b)cdot(c,d)*(a,b)cdot(e,f),
e a distributividade à direita é análoga.

Passo 4

O elemento zero do anel é o elemento neutro da adição, ou seja (0,0).

Passo 5

A multiplicação é comutativa porque
(a,b)cdot(c,d)=(a,c,;a,d+b,c)=(c,a,;c,b+d,a)=(c,d)cdot(a,b)
já que a multiplicação em Z é comutativa.

Passo 6

Procuramos (e,f) tal que (e,f)cdot(a,b)=(a,b) para todo (a,b).
(e,f)cdot(a,b)=(e,a,;e,b+f,a)stackrel!= (a,b)
implica e,a=a e e,b+f,a=b para todo a,b, o que só ocorre se e=1 e f=0. Portanto a unidade é (1,0).

Passo 7

Para ser domínio de integridade não pode haver divisores de zero não nulos. Mas
(0,1)cdot(0,1)=(0cdot0,;0cdot1+1cdot0)=(0,0),
com (0,1)neq(0,0). Logo há divisores de zero e não é domínio de integridade.

Resposta

O par (ZtimesZ,*,cdot) é um anel.
O zero do anel é (0,0).
É um anel comutativo.
Tem unidade, que é (1,0).
Não é um anel de integridade (há divisores de zero).

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