Construa as tábuas do anel quociente A / I nos casos seguintes.
A=Z8 e I=N(A)= conjuntos dos elementos nilpotentes de A.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos as tábuas de adição e multiplicação do quociente A/I, onde A=Z8 e I=N(A) é o ideal formado pelos elementos nilpotentes de A. Vamos usar a definição de nilpotente e as regras de operação em anel quociente.

Passo 2

Um elemento xinZ8 é nilpotente se existe n>=1 tal que x^nequiv0pmod8. Precisamos identificar todos os xin0,1,2,3,4,5,6,7 que satisfazem isso.

Passo 3

Os elementos invertíveis em Z8 (isto é, 1,3,5,7) não podem ser nilpotentes. Verificamos:
2^3=8equiv0, 4^2=16equiv0, 6^3=(6^2)cdot6=4cdot6=24equiv0
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N(A)=0,2,4,6

Passo 4

O ideal I=N(A) é 0,2,4,6. Em A/I só há dois cosets:
Ie 1+I=1,3,5,7
Denotamos overline0=I e overline1=1+I. As operações são
overline a+overline b=a+b, overline acdotoverline b=ab

Passo 5

Para montar as tábuas, usamos
overline0+overline0=0+0=overline0, overline0+overline1=overline1, overline1+overline1=2=overline0,
e
overline0cdotoverline1=overline0, overline1cdotoverline1=overline1

Resposta

Adição em A/I:
c|cc +&overline0&overline1hline overline0&overline0&overline1 overline1&overline1&overline0
Multiplicação em A/I:
c|cc cdot&overline0&overline1hline overline0&overline0&overline0 overline1&overline0&overline1

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