Resolva a seguinte equação do segundo grau com coeficientes no corpo
(portanto, os coeficientes são
e
).
Resolução: Observe primeiro que a fórmula que se usa correntemente para resolver equações do segundo grau com coeficientes em
, pode ser usada no caso, porque qualquer que seja
. Então
Como o inverso de 2 no anel é 4 , então as raízes são 3 e
.
Vale notar que, quando considerada sobre o corpo
, a equação não poderia ser resolvida pelo mesmo método. Sugerimos ao estudante fazer a resolução com esta última hipótese, observando antes que a equação poderia então ser escrita como
Mas é óbvio que, por tentativa e erro, muito mais rapidamente se chegará à conclusão de que ela não tem raízes no seu corpo de coeficientes. Assim como, também, se poderiam achar as raízes de
sobre
.
Resolução: Observe primeiro que a fórmula que se usa correntemente para resolver equações do segundo grau com coeficientes em
Vale notar que, quando considerada sobre o corpo
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do segundo grau
no corpo
. Aqui os coeficientes são
,
e
. Vamos usar a fórmula resolvente
válida sempre que
em
.
Passo 2
Calculamos o discriminante
Passo 3
Procuramos as raízes quadradas de
em
. Verifica-se que
logo
ou
.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Como o inverso de
em
é
, temos
Resposta
As soluções em
são