Resolva a seguinte equação do segundo grau com coeficientes no corpo Z7: x^2-x+1=0 (portanto, os coeficientes são 1,-1=6 e 1 ).
Resolução: Observe primeiro que a fórmula que se usa correntemente para resolver equações do segundo grau com coeficientes em R, pode ser usada no caso, porque qualquer que seja a in Z7^*, 2 a neq 0. Então
x=1 pm raiz(-1)^2-4 cdot 1 cdot 12=1 pm raiz1-42=1 pm raiz42=1 pm 22=3 / 2 ou 3
Como o inverso de 2 no anel é 4 , então as raízes são 3 e 3 cdot 4=5.
Vale notar que, quando considerada sobre o corpo Z2, a equação não poderia ser resolvida pelo mesmo método. Sugerimos ao estudante fazer a resolução com esta última hipótese, observando antes que a equação poderia então ser escrita como
x^2+x+1=0( onde 1=1)
Mas é óbvio que, por tentativa e erro, muito mais rapidamente se chegará à conclusão de que ela não tem raízes no seu corpo de coeficientes. Assim como, também, se poderiam achar as raízes de x^2-x+1 sobre Z7.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do segundo grau
x^2 - x + 1 = 0
no corpo Z7. Aqui os coeficientes são a=1, b=-1equiv6 e c=1. Vamos usar a fórmula resolvente
x = -b pm raiz,b^2-4ac,2a
válida sempre que 2aneq0 em Z7.

Passo 2

Calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4cdot1cdot1 = 1 - 4 = -3 equiv 4 pmod7

Passo 3

Procuramos as raízes quadradas de De<a=4 em Z7. Verifica-se que
2^2 = 4, 5^2 = 25 equiv 4 pmod7,
logo raiz4=2 ou raiz4=5.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
x = -b pm raizDe<a2a = 1 pm raiz42 = 1 pm 22
Como o inverso de 2 em Z7 é 4, temos
x1 = (1+2)cdot4 = 3cdot4 = 12 equiv 5 pmod7,
x2 = (1-2)cdot4 = (-1)cdot4 = -4 equiv 3 pmod7

Resposta

As soluções em Z7 são
3 e 5

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