Dado um triângulo equilátero de lado 4 cm , qual o raio do círculo no qual ele está inscrito. E qual o raio do círculo que ele circunscreve?

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de um triângulo equilátero de lado 4 cm e pede os raios do círculo inscrito (incentro) e do circunscrito (circuncentro). Vamos usar propriedades de um triângulo equilátero, em que esses centros coincidem e dividem as medianas na razão 2:1.

Passo 2

Para começar, calculamos a altura h do triângulo. Num triângulo equilátero de lado a, vale
h = raiz32,a
Substituindo a=4:
h = raiz32times4 = 2raiz3

Passo 3

Como o incentro e o circuncentro coincidem com o baricentro, este ponto divide cada mediana em dois segmentos na razão 2:1 (do vértice para o lado). Assim:
  • Raio circunscrito R é a distância do centro até o vértice, que é tfrac23,h.
  • Raio inscrito r é a distância do centro até o lado, que é tfrac13,h.

Passo 4

Calculando o raio circunscrito:
R = 23,h = 23times2raiz3 = 4raiz33 cm

Passo 5

Calculando o raio inscrito:
r = 13,h = 13times2raiz3 = 2raiz33 cm

Resposta

O raio do círculo inscrito é 2raiz33,cm.
O raio do círculo circunscrito é 4raiz33,cm.

Exercícios de Livros Relacionados