Dado um triângulo equilátero de lado 4 cm , qual o raio do círculo no qual ele está inscrito. E qual o raio do círculo que ele circunscreve?
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de um triângulo equilátero de lado
e pede os raios do círculo inscrito (incentro) e do circunscrito (circuncentro). Vamos usar propriedades de um triângulo equilátero, em que esses centros coincidem e dividem as medianas na razão 2:1.
Passo 2
Para começar, calculamos a altura
do triângulo. Num triângulo equilátero de lado
, vale
Substituindo
:
Passo 3
Como o incentro e o circuncentro coincidem com o baricentro, este ponto divide cada mediana em dois segmentos na razão
(do vértice para o lado). Assim:
- Raio circunscrito
é a distância do centro até o vértice, que é . - Raio inscrito
é a distância do centro até o lado, que é .
Passo 4
Calculando o raio circunscrito:
Passo 5
Calculando o raio inscrito:
Resposta
O raio do círculo inscrito é
.
O raio do círculo circunscrito é .
O raio do círculo circunscrito é