Dados os conjuntos I_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 3 e y=0\}
\begin{aligned} & I_{2}=\{(x, y) \mid x=0 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 5\} \\\ & I_{3}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1 \text { e } y=0\} \\\ & I_{4}=\{(x, y) \mid x=0 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 3\} \end{aligned}
calcular: a) I_{1} \times I_{2} b) I_{3} \times I_{4} c) O conjunto interseção de I_{1} \times I_{2} com I_{3} \times I_{4}

Passo 1

O enunciado dá quatro conjuntos em \mathbb R^2: I_{1}, I_{2}, I_{3} e I_{4}, cada um sendo um segmento alinhado aos eixos.
Vamos calcular os produtos cartesianos I_{1}\times I_{2} e I_{3}\times I_{4} (que vivem em \mathbb R^4) e depois a interseção entre esses dois conjuntos.
A definição que usamos é:
A\times B = \{(a,b)\in X\times Y \mid a\in A,\;b\in B\}

Passo 2

Para achar I_{1}\times I_{2}, note que
I_{1}=\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;y=0\}
e
I_{2}=\{(u,v)\mid u=0,\;0\le v\le5\}.
Pelo produto cartesiano, um elemento genérico é ((x,y),(u,v)). Podemos reescrever em coordenadas em \mathbb R^4:
I_{1}\times I_{2} = \{(x,y,u,v)\in\mathbb R^{4}\mid 0\le x\le3,\;y=0,\;u=0,\;0\le v\le5\}.

Passo 3

Para achar I_{3}\times I_{4}, seguimos igual:
I_{3}=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;y=0\}
e
I_{4}=\{(u,v)\mid u=0,\;0\le v\le3\}.
Logo,
I_{3}\times I_{4} = \{(x,y,u,v)\in\mathbb R^{4}\mid 0\le x\le1,\;y=0,\;u=0,\;0\le v\le3\}.

Passo 4

A interseção (I_{1}\times I_{2})\cap(I_{3}\times I_{4}) consiste em pontos que satisfazem simultaneamente as condições de ambos os produtos. Assim, unificamos as restrições:
0\le x\le1,\;y=0,\;u=0,\;0\le v\le3.
Observa-se que este conjunto coincide exatamente com I_{3}\times I_{4}.

Resposta

(a)
\displaystyle I_{1}\times I_{2} = \{(x,y,u,v)\in\mathbb R^{4}\mid 0\le x\le3,\;y=0,\;u=0,\;0\le v\le5\}.
(b)
\displaystyle I_{3}\times I_{4} = \{(x,y,u,v)\in\mathbb R^{4}\mid 0\le x\le1,\;y=0,\;u=0,\;0\le v\le3\}.
(c)
\displaystyle (I_{1}\times I_{2})\cap(I_{3}\times I_{4}) = \{(x,y,u,v)\in\mathbb R^{4}\mid 0\le x\le1,\;y=0,\;u=0,\;0\le v\le3\}.

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