Dados os pontos
\mathbf{p}{1}=\left[ \begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right], \mathbf{p}{2}=\left[ \begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right] e \mathbf{p}{3}=\left[ \begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right] em \mathbb{R}^{2}, seja S=\operatorname{conv}\left{\mathbf{p}{1}, \mathbf{p}{2}, \mathbf{p}{3}\right}. Para cada funcional linear f, encontre o valor máximo m de f no conjunto S e encontre todos os pontos \mathbf{x} em S tais que f(\mathbf{x})=m.
b. f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+x_{2}

Passo 1

Temos os pontos \mathbf p_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \mathbf p_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} e \mathbf p_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix} em \mathbb R^2 e o conjunto
S = \operatorname{conv}\{\mathbf p_1,\mathbf p_2,\mathbf p_3\}.
Queremos maximizar o funcional linear
f(x_1,x_2)=x_1+x_2
sobre o conjunto S.

Passo 2

Como S é o polígono convexo cujos vértices são \mathbf p_1, \mathbf p_2 e \mathbf p_3, a teoria de programação linear nos garante que o máximo de f em S ocorre em pelo menos um desses vértices.

Passo 3

Calculamos o valor de f em cada vértice:
f(\mathbf p_1)=1+0=1,\qquad f(\mathbf p_2)=2+3=5,\qquad f(\mathbf p_3)=-1+2=1.

Passo 4

Comparando os valores, vemos que o maior é
m = 5,
obtido apenas em \mathbf p_2. Portanto não há outro ponto extremo que alcance esse valor.

Resposta

O valor máximo é m=5 e o conjunto de pontos que atinge esse máximo é \{\mathbf p_2\} = \{(2,3)\}.

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