Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) Um sistema linear de três equações em cinco incógnitas é consistente.
(b) Um sistema linear de cinco equações em três incógnitas não pode ser consistente.
(c) Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver n entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumentada, então o sistema terá exatamente uma solução.
(d) Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver duas equações que são múltiplas uma da outra, então o sistema será inconsistente.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre sistemas lineares e pede para decidir, para cada uma, se ela é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar conceitos de posto de matriz, número de incógnitas vs. equações, pivôs (entradas líderes) e contra-exemplos simples para cada item.

Passo 2

Afirmação (a): “Um sistema linear de três equações em cinco incógnitas é consistente.”
Como temos mais incógnitas (
5
) do que equações (
3
), o sistema pode ter infinitas soluções _ou_ ser inconsistente, dependendo das equações.
Por exemplo, considere o sistema
x1+x2+x3+x4+x5=0, x1+x2+x3+x4+x5=1, x1+x2+x3+x4+x5=2
As três equações são contraditórias (imposição de valores diferentes para a mesma soma), logo não há solução. Portanto a afirmação é às vezes falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Um sistema linear de cinco equações em três incógnitas não pode ser consistente.”
Embora haja mais equações ( 5) do que incógnitas ( 3), as equações podem ser redundantes ou dependentes, permitindo consistência.
Por exemplo, o sistema em (x1,x2,x3):
x1+x2+x3=0, 2(x1+x2+x3)=0, 3(x1+x2+x3)=0, 4(x1+x2+x3)=0, 5(x1+x2+x3)=0
é consistente (todas as equações são múltiplos da primeira). Logo a afirmação é às vezes falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver n entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumentada, então o sistema terá exatamente uma solução.”
Ter n pivôs significa que a matriz dos coeficientes é invertível ( detneq0) e não há variáveis livres. Por teoria de sistemas lineares, isso garante sempre uma única solução. Portanto a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “Se um sistema linear de
tem uma equação duplicada (segunda é (2\times] primeira) mas ainda assim é consistente. Logo a afirmação é às vezes falsa.

Resposta

(a) Às vezes falsa
(b) Às vezes falsa
(c) Sempre verdadeira
(d) Às vezes falsa

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