Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) Um sistema linear de três equações em cinco incógnitas é consistente.
(b) Um sistema linear de cinco equações em três incógnitas não pode ser consistente.
(c) Se um sistema linear de equações em incógnitas tiver entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumentada, então o sistema terá exatamente uma solução.
(d) Se um sistema linear de equações em incógnitas tiver duas equações que são múltiplas uma da outra, então o sistema será inconsistente.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre sistemas lineares e pede para decidir, para cada uma, se ela é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar conceitos de posto de matriz, número de incógnitas vs. equações, pivôs (entradas líderes) e contra-exemplos simples para cada item.
Passo 2
Afirmação (a): “Um sistema linear de três equações em cinco incógnitas é consistente.”
Como temos mais incógnitas (
5
) do que equações (
3
), o sistema pode ter infinitas soluções _ou_ ser inconsistente, dependendo das equações.
Por exemplo, considere o sistema
As três equações são contraditórias (imposição de valores diferentes para a mesma soma), logo não há solução. Portanto a afirmação é às vezes falsa.
Passo 3
Afirmação (b): “Um sistema linear de cinco equações em três incógnitas não pode ser consistente.”
Embora haja mais equações (5) do que incógnitas (3), as equações podem ser redundantes ou dependentes, permitindo consistência.
Por exemplo, o sistema em (x1,x2,x3):
é consistente (todas as equações são múltiplos da primeira). Logo a afirmação é às vezes falsa.
Passo 4
Afirmação (c): “Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver n entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumentada, então o sistema terá exatamente uma solução.”
Ter n pivôs significa que a matriz dos coeficientes é invertível (detneq0) e não há variáveis livres. Por teoria de sistemas lineares, isso garante sempre uma única solução. Portanto a afirmação é sempre verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “Se um sistema linear de
tem uma equação duplicada (segunda é (2\times] primeira) mas ainda assim é consistente. Logo a afirmação é às vezes falsa.
Resposta
(a) Às vezes falsa
(b) Às vezes falsa
(c) Sempre verdadeira
(d) Às vezes falsa
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton Rorres - Álgebra Linear - 8ª Edição - Capítulo 1.1.2 - Ex. 32