Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) As expressões
e
estão sempre definidas, independentemente do tamanho de
.
(b)
para qualquer matriz
.
(c) Se a primeira coluna de
for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto
.
(c) Se a primeira linha de
for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto $A B.
(a) As expressões
(b)
(c) Se a primeira coluna de
(c) Se a primeira linha de
Passo 1
O enunciado pede para verificar quatro afirmações sobre traço e produto de matrizes. Vamos usar o fato de que, para uma matriz
de tamanho
,
é
e
é
; a propriedade cíclica do traço
quando os produtos existem; e as fórmulas de entrada do produto
.
Passo 2
(a) Seja
de tamanho
. Então
existe e é uma matriz
, e
existe e é
. Como o traço está definido para toda matriz quadrada,
e
são sempre bem definidas, qualquer que seja
.
(b) Ainda com de tamanho
, escrevemos
(b) Ainda com
e
Portanto ambos somam os mesmos termos
, logo sempre
Passo 3
(c) Suponha que a primeira coluna de
seja todo zero, isto é,
para todo
. Considere um
qualquer de tamanho compatível (digamos
). A primeira coluna de
tem entradas
Só o termo
se anula (pois
), mas os termos com
podem ser não nulos se
e
.
Contra-exemplo:
Contra-exemplo:
a primeira coluna de
é
, não toda zero. Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
(d) Agora suponha que a primeira linha de
seja toda zero,
para todo
. Então para qualquer
compatível a primeira linha de
tem entradas
porque cada
. Portanto a primeira linha de
é sempre o vetor zero, e a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) sempre verdadeira
(b) sempre verdadeira
(c) às vezes falsa (contra-exemplo acima)
(d) sempre verdadeira
(b) sempre verdadeira
(c) às vezes falsa (contra-exemplo acima)
(d) sempre verdadeira