Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) As expressões tr(A A^T) e tr(A^T A) estão sempre definidas, independentemente do tamanho de A.
(b) tr(A A^T)=tr(A^T A) para qualquer matriz A.
(c) Se a primeira coluna de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto A B.
(c) Se a primeira linha de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto $A B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quatro afirmações sobre traço e produto de matrizes. Vamos usar o fato de que, para uma matriz A de tamanho mtimes n, A A^T é mtimes m e A^TA é ntimes n; a propriedade cíclica do traço tr(XY)=tr(YX) quando os produtos existem; e as fórmulas de entrada do produto (AB)i j=sumkAi kBk j.

Passo 2

(a) Seja A de tamanho mtimes n. Então A A^T existe e é uma matriz mtimes m, e A^TA existe e é ntimes n. Como o traço está definido para toda matriz quadrada, tr(A A^T) e tr(A^TA) são sempre bem definidas, qualquer que seja m,n.
(b) Ainda com A de tamanho mtimes n, escrevemos
tr(A A^T) =sumi=1^m(A A^T)ii =sumi=1^msumj=1^nAi jA^Tj i =sumi=1^msumj=1^nAi jAi j
e
tr(A^TA) =sumj=1^n(A^TA)jj =sumj=1^nsumi=1^mA^Tj iAi j =sumi=1^msumj=1^nAi jAi j
Portanto ambos somam os mesmos termos Ai j^2, logo sempre
tr(A A^T)=tr(A^TA)

Passo 3

(c) Suponha que a primeira coluna de A seja todo zero, isto é, Ai1=0 para todo i. Considere um B qualquer de tamanho compatível (digamos ntimes p). A primeira coluna de AB tem entradas
(AB)i1=sumk=1^nAi k,Bk1
Só o termo k=1 se anula (pois Ai1=0), mas os termos com k>=2 podem ser não nulos se Ai kneq0 e Bk1neq0.
Contra-exemplo:
A=0&10&0, B=0&01&0 Longrightarrow AB=1&00&0,
a primeira coluna de AB é l(1,0r)^T, não toda zero. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

(d) Agora suponha que a primeira linha de A seja toda zero, A1k=0 para todo k. Então para qualquer B compatível a primeira linha de AB tem entradas
(AB)1j=sumkA1k,Bk j=0
porque cada A1k=0. Portanto a primeira linha de AB é sempre o vetor zero, e a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) sempre verdadeira
(b) sempre verdadeira
(c) às vezes falsa (contra-exemplo acima)
(d) sempre verdadeira

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