Decida se as matrizes abaixo são invertíveis ou não. No caso afirmativo, determine a(s) inversa(s). Caso uma delas (digamos a) não seja invertível, ache uma matriz x in M(3 times 1) tal que a x=0 :
[lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 9 1 & 3 & 4 ] e [lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 3 & 4 ]

Passo 1

Temos duas matrizes 3×3 A e B. O que a questão pede é: decidir se cada uma é invertível (usando determinante), encontrar sua inversa quando existir (usando adjunta ou eliminação) e, se alguma não for invertível, achar um x não nulo com A x=0.

Passo 2

Para decidir se A é invertível, usamos o determinante. Podemos expandir pela 1ª linha:
det(A)=1cdotdet5&93&4-2cdotdet4&91&4+3cdotdet4&51&3
Calculando cada menor:
det5&93&4=5cdot4-9cdot3=-7, det4&91&4=16-9=7, det4&51&3=12-5=7
Logo
det(A)=1cdot(-7)-2cdot7+3cdot7=-7-14+21=0,
logo A é singular.

Passo 3

Para achar um xneq0 tal que A x=0, escrevemos o sistema homogêneo:
x1+2x2+3x3=0 4x1+5x2+9x3=0 x1+3x2+4x3=0
Subtraindo a 1ª da 3ª obtemos x2+x3=0, ou x2=-x3. Substituindo na 1ª, vem x1+x3=0, ou x1=-x3. Tomando x3=1 dá um vetor não-nulo
x=-1-11,
que satisfaz A x=0.

Passo 4

Para B, de novo aplicamos a regra de Sarrus ou expansão. Calculamos
det(B)=1cdot(5cdot4-6cdot3)-2cdot(4cdot4-6cdot1)+3cdot(4cdot3-5cdot1)=2-20+21=3neq0,
portanto B é invertível.

Passo 5

Para encontrar B^-1 usamos a adjunta. Calculamos os cofatores e obtemos a matriz adjunta
adj(B)=2&1&-3-10&1&67&-1&-3^T =2&1&-3-10&1&67&-1&-3,
ou seja a transposta da matriz de cofatores. Então
B^-1=1det(B)adj(B)=132&1&-3-10&1&67&-1&-3

Resposta

A não é invertível. Um vetor não-nulo com A x=0 é
x=-1-11
B é invertível, com inversa
B^-1=132&1&-3-10&1&67&-1&-3

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