Desenhe dois exemplos de polígonos equiláteros que circunscrevem
um círculo, mas que não são regulares.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de polígonos que satisfaçam simultaneamente
1) serem equiláteros (todos os lados com mesma medida),
2) circunscreverem um círculo (ou seja, possuírem uma incircle),
3) não serem regulares (ou seja, não terem todos os ângulos internos iguais).
Para garantir que um polígono convexo admite incircle, basta construirmos os ângulos internos de modo que a soma de cada par de ângulos adjacentes tenha o mesmo “efeito” no comprimento do lado, o que, em muitos casos, se resolve alternando dois valores de ângulo.

Passo 2

Exemplo 1: um losango (equilátero de 4 lados) não regular
Escolhemos um losango com lados de comprimento 1 e ângulos internos alternados de ,60^circ e ,120^circ. Por exemplo, os vértices
A=(0,0), B=(1,0), C=(1+tfrac12,tfracraiz32), D=(tfrac12,tfracraiz32)
formam um losango com AB=BC=CD=DA=1 e ang<= A=60^circ,;ang<= B=120^circ,dots.
Desenho esquemático (vista de cima):
D bul<=t________C
\ /
\ /
\ /
A bul<=t———— bul<=tB
No centro há um ponto I equidistante de todas as retas dos lados, gerando a incircle tangente a cada lado.

Passo 3

Por que esse losango admite incircle?
Em qualquer quadrilátero convexo, existe incircle se, e somente se,
AB + CD = BC + DA
Aqui AB=BC=CD=DA=1, logo 1+1=1+1, e o círculo de centro no encontro das bissetrizes de dois ângulos atinge todas as 4 arestas.

Passo 4

Exemplo 2: um hexágono equilátero não regular
Vamos construir um hexágono convexo de lados iguais a 1, com ângulos internos alternados em 100^circ e 140^circ. Como há 6 ângulos, a soma total é
3cdot(100^circ + 140^circ) = 3cdot240^circ = 720^circ,
conforme exige o polígono de 6 lados. A alternância garante que cada lado seja
s = rl(cot(100^circ/2) + cot(140^circ/2)r),
ou seja, todos iguais para um mesmo r, raio da incircle.
Esquematicamente, numeramos os vértices A1,A2,dots,A6 de modo que
ang<= A1=100^circ,;ang<= A2=140^circ,;ang<= A3=100^circ,;dots,;ang<= A6=140^circ,
e unimos AiAi+1 com segmentos todos de comprimento 1. No centro fica o ponto I tal que as distâncias de I a cada lado valem o mesmo r.

Passo 5

Porque esse hexágono é tangencial?
Num polígono de n lados que admite incircle de raio r, cada lado si satisfaz
si = rl(cot(tfracalphai2) + cot(tfracalphai+12)r),
onde alphai é o ângulo interno no vértice i. Se alternarmos alpha e beta de modo que alpha+beta seja constante (aqui 240^circ), então
cot!l(tfracalpha2r)+cot!l(tfracbeta2r)
é sempre o mesmo valor, garantindo s1=s2=cdots=s6. Assim temos um hexágono equilátero que também circunscreve um círculo, porém com dois valores de ângulo interno distintos.

Resposta

1) Losango equilátero com ângulos 60^circ,120^circ,60^circ,120^circ.
2) Hexágono equilátero de 6 lados com ângulos internos alternados em 100^circ e 140^circ.

Exercícios de Livros Relacionados