Desenhe dois exemplos de polígonos equiláteros que circunscrevem
um círculo, mas que não são regulares.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de polígonos que satisfaçam simultaneamente
) serem equiláteros (todos os lados com mesma medida),
) circunscreverem um círculo (ou seja, possuírem uma incircle),
) não serem regulares (ou seja, não terem todos os ângulos internos iguais).
Para garantir que um polígono convexo admite incircle, basta construirmos os ângulos internos de modo que a soma de cada par de ângulos adjacentes tenha o mesmo “efeito” no comprimento do lado, o que, em muitos casos, se resolve alternando dois valores de ângulo.

Passo 2

Exemplo A=(0,0), B=(1,0), C=(1+tfrac12,tfracraiz32), D=(tfrac12,tfracraiz32) : um losango (equilátero de lados) não regular
Escolhemos um losango com lados de comprimento e ângulos internos alternados de e . Por exemplo, os vértices
formam um losango com e .
Desenho esquemático (vista de cima):
D ________C
\ /
\ /
\ /
A ———— B
No centro há um ponto equidistante de todas as retas dos lados, gerando a incircle tangente a cada lado.

Passo 3

Por que esse losango admite incircle?
Em qualquer quadrilátero convexo, existe incircle se, e somente se,
AB + CD = BC + DA
Aqui , logo , e o círculo de centro no encontro das bissetrizes de dois ângulos atinge todas as arestas.

Passo 4

Exemplo 3cdot(100^circ + 140^circ) = 3cdot240^circ = 720^circ, : um hexágono equilátero não regular
Vamos construir um hexágono convexo de lados iguais a s = rl(cot(100^circ/2) + cot(140^circ/2)r), , com ângulos internos alternados em ang<= A1=100^circ,;ang<= A2=140^circ,;ang<= A3=100^circ,;dots,;ang<= A6=140^circ, e . Como há ângulos, a soma total é
conforme exige o polígono de lados. A alternância garante que cada lado seja
ou seja, todos iguais para um mesmo , raio da incircle.
Esquematicamente, numeramos os vértices de modo que
e unimos com segmentos todos de comprimento . No centro fica o ponto tal que as distâncias de a cada lado valem o mesmo .

Passo 5

Porque esse hexágono é tangencial?
Num polígono de si = rl(cot(tfracalphai2) + cot(tfracalphai+12)r), lados que admite incircle de raio cot!l(tfracalpha2r)+cot!l(tfracbeta2r) , cada lado satisfaz
onde é o ângulo interno no vértice . Se alternarmos e de modo que seja constante (aqui ), então
é sempre o mesmo valor, garantindo . Assim temos um hexágono equilátero que também circunscreve um círculo, porém com dois valores de ângulo interno distintos.

Resposta

) Losango equilátero com ângulos .
) Hexágono equilátero de lados com ângulos internos alternados em e .

Exercícios de Livros Relacionados