Desenhe dois exemplos de polígonos equiláteros que circunscrevem
um círculo, mas que não são regulares.
um círculo, mas que não são regulares.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de polígonos que satisfaçam simultaneamente
) serem equiláteros (todos os lados com mesma medida),
) circunscreverem um círculo (ou seja, possuírem uma incircle),
) não serem regulares (ou seja, não terem todos os ângulos internos iguais).
Para garantir que um polígono convexo admite incircle, basta construirmos os ângulos internos de modo que a soma de cada par de ângulos adjacentes tenha o mesmo “efeito” no comprimento do lado, o que, em muitos casos, se resolve alternando dois valores de ângulo.
Para garantir que um polígono convexo admite incircle, basta construirmos os ângulos internos de modo que a soma de cada par de ângulos adjacentes tenha o mesmo “efeito” no comprimento do lado, o que, em muitos casos, se resolve alternando dois valores de ângulo.
Passo 2
Exemplo
: um losango (equilátero de
lados) não regular
Escolhemos um losango com lados de comprimento e ângulos internos alternados de
e
. Por exemplo, os vértices
Escolhemos um losango com lados de comprimento
formam um losango com
e
.
Desenho esquemático (vista de cima):
Desenho esquemático (vista de cima):
D
________C
\ /
\ /
\ /
A ————
B
\ /
\ /
\ /
A
No centro há um ponto
equidistante de todas as retas dos lados, gerando a incircle tangente a cada lado.
Passo 3
Por que esse losango admite incircle?
Em qualquer quadrilátero convexo, existe incircle se, e somente se,
Em qualquer quadrilátero convexo, existe incircle se, e somente se,
Aqui
, logo
, e o círculo de centro no encontro das bissetrizes de dois ângulos atinge todas as
arestas.
Passo 4
Exemplo
: um hexágono equilátero não regular
Vamos construir um hexágono convexo de lados iguais a , com ângulos internos alternados em
e
. Como há
ângulos, a soma total é
Vamos construir um hexágono convexo de lados iguais a
conforme exige o polígono de
lados. A alternância garante que cada lado seja
ou seja, todos iguais para um mesmo
, raio da incircle.
Esquematicamente, numeramos os vértices
de modo que
e unimos
com segmentos todos de comprimento
. No centro fica o ponto
tal que as distâncias de
a cada lado valem o mesmo
.
Passo 5
Porque esse hexágono é tangencial?
Num polígono de lados que admite incircle de raio
, cada lado
satisfaz
Num polígono de
onde
é o ângulo interno no vértice
. Se alternarmos
e
de modo que
seja constante (aqui
), então
é sempre o mesmo valor, garantindo
. Assim temos um hexágono equilátero que também circunscreve um círculo, porém com dois valores de ângulo interno distintos.