Desenhe dois exemplos de polígonos equiangulares inscritos em um círculo, mas que não são regulares.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de polígonos inscritos num círculo cujos ângulos internos sejam todos iguais (equiangulares), mas que não sejam regulares (ou seja, tenham lados de comprimentos diferentes). Vamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito, que relaciona cada ângulo interno de um polígono inscrito à medida do arco oposto no círculo, e daí escolherar medidas de arco que garantam igualdade de ângulos e desigualdade de lados.
Passo 2
O Teorema do Ângulo Inscrito diz que, num círculo, o ângulo interno formado pelos vértices consecutivos satisfaz
Como queremos , todas as medidas dos arcos opostos devem ser iguais. Seja a medida do arco entre e (índices módulo ). O arco oposto em é o complemento dos arcos , ou seja,
Assim obtemos um sistema de somas de arcos constantes, e podemos escolher valores de que satisfaçam e sejam não todos iguais entre si.
Passo 3
Exemplo 1: quadrilátero equiangular (todos ângulos de ) não regular.
Para , cada ângulo interno vale , logo o arco oposto mede e
Dessa forma e , com . Tome, por exemplo,
No círculo, marque quatro pontos em ordem de modo que , , , .
Unindo obtém-se um retângulo inscrito, com ângulos todos de mas lados , logo não é quadrado e nem regular.
Passo 4
Exemplo 2: hexágono equiangular ( a1+a2 = a2+a3 = cdots = a6+a1 = 360^circ - 240^circ = 120^circ ) não regular.
Para a1=a3=a5=50^circ, a2=a4=a6=70^circ, , cada ângulo interno vale , logo o arco oposto mede e
Isso implica e , com . Escolha, por exemplo,
pois .
Marque seis pontos no círculo em ordem de modo que .
Unindo obtém-se um hexágono inscrito cujos ângulos internos são todos , mas os comprimentos de lado alternam dois valores (cordas de e de ), de modo que ele não é regular.
Resposta
Desenho 1: retângulo inscrito não quadrado, com arcos .
Desenho 2: hexágono inscrito equiangular de arcos alternados .
Álgebra Linear e Geometria Analítica - João Lucas Marques Barbosa - Geometria Euclidiana Plana - 2ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 22