Desenhe dois exemplos de polígonos equiangulares inscritos em um círculo, mas que não são regulares.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de polígonos inscritos num círculo cujos ângulos internos sejam todos iguais (equiangulares), mas que não sejam regulares (ou seja, tenham lados de comprimentos diferentes). Vamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito, que relaciona cada ângulo interno de um polígono inscrito à medida do arco oposto no círculo, e daí escolherar medidas de arco que garantam igualdade de ângulos e desigualdade de lados.

Passo 2

O Teorema do Ângulo Inscrito diz que, num círculo, o ângulo interno alphai = tfrac12l(medida do arco Ai-1Ai+1r) formado pelos vértices consecutivos 360^circ - (ai-1+ai) = constante L Longrightarrow ai-1+ai = 360^circ - L,forall i satisfaz
Como queremos , todas as medidas dos arcos opostos devem ser iguais. Seja a medida do arco entre e (índices módulo ). O arco oposto em é o complemento dos arcos , ou seja,
Assim obtemos um sistema de somas de arcos constantes, e podemos escolher valores de que satisfaçam e sejam não todos iguais entre si.

Passo 3

Exemplo 1: quadrilátero equiangular (todos ângulos de a1+a2 = a2+a3 = a3+a4 = a4+a1 = 180^circ ) não regular.
Para a1 = a3 = 50^circ, a2 = a4 = 130^circ , cada ângulo interno vale , logo o arco oposto mede e
Dessa forma e , com . Tome, por exemplo,
No círculo, marque quatro pontos em ordem de modo que
, , , .
Unindo obtém-se um retângulo inscrito, com ângulos todos de mas lados , logo não é quadrado e nem regular.

Passo 4

Exemplo 2: hexágono equiangular ( a1+a2 = a2+a3 = cdots = a6+a1 = 360^circ - 240^circ = 120^circ ) não regular.
Para a1=a3=a5=50^circ, a2=a4=a6=70^circ, , cada ângulo interno vale , logo o arco oposto mede e
Isso implica e , com . Escolha, por exemplo,
pois .
Marque seis pontos no círculo em ordem de modo que
.
Unindo obtém-se um hexágono inscrito cujos ângulos internos são todos , mas os comprimentos de lado alternam dois valores (cordas de e de ), de modo que ele não é regular.

Resposta

Desenho 1: retângulo inscrito não quadrado, com arcos .
Desenho 2: hexágono inscrito equiangular de arcos alternados .

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