Desenhe dois exemplos de polígonos equiangulares inscritos em um círculo, mas que não são regulares.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de polígonos inscritos num círculo cujos ângulos internos sejam todos iguais (equiangulares), mas que não sejam regulares (ou seja, tenham lados de comprimentos diferentes). Vamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito, que relaciona cada ângulo interno de um polígono inscrito à medida do arco oposto no círculo, e daí escolherar medidas de arco que garantam igualdade de ângulos e desigualdade de lados.
Passo 2
O Teorema do Ângulo Inscrito diz que, num círculo, o ângulo interno formado pelos vértices consecutivos satisfaz
Como queremos , todas as medidas dos arcos opostos devem ser iguais. Seja a medida do arco entre e (índices módulo ). O arco oposto em é o complemento dos arcos , ou seja,
Assim obtemos um sistema de somas de arcos constantes, e podemos escolher valores de que satisfaçam e sejam não todos iguais entre si.
Passo 3
Exemplo 1: quadrilátero equiangular (todos ângulos de ) não regular.
Para , cada ângulo interno vale , logo o arco oposto mede e
Dessa forma e , com . Tome, por exemplo,
No círculo, marque quatro pontos em ordem de modo que , , , .
Unindo obtém-se um retângulo inscrito, com ângulos todos de mas lados , logo não é quadrado e nem regular.
Passo 4
Exemplo 2: hexágono equiangular (alpha=120^circ) não regular.
Para n=6, cada ângulo interno vale tfrac(6-2)180^circ6=120^circ, logo o arco oposto mede 240^circ e
Isso implica a1=a3=a5 e a2=a4=a6, com a1+a2=120^circ. Escolha, por exemplo,
a1=a3=a5=50^circ, a2=a4=a6=70^circ,
pois 3cdot50^circ+3cdot70^circ=360^circ.
Marque seis pontos B1,dots,B6 no círculo em ordem de modo que widehatB1B2=50^circ,widehatB2B3=70^circ,widehatB3B4=50^circ,dots,widehatB6B1=70^circ.
Unindo B1B2cdots B6 obtém-se um hexágono inscrito cujos ângulos internos são todos 120^circ, mas os comprimentos de lado alternam dois valores (cordas de 50^circ e de 70^circ), de modo que ele não é regular.
Resposta
Desenho 1: retângulo inscrito não quadrado, com arcos 50^circ,130^circ,50^circ,130^circ.
Desenho 2: hexágono inscrito equiangular de arcos alternados 50^circ,70^circ,50^circ,70^circ,50^circ,70^circ.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - João Lucas Marques Barbosa - Geometria Euclidiana Plana - 2ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 22