Desenhe dois exemplos de polígonos equiangulares inscritos em um círculo, mas que não são regulares.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de polígonos inscritos num círculo cujos ângulos internos sejam todos iguais (equiangulares), mas que não sejam regulares (ou seja, tenham lados de comprimentos diferentes). Vamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito, que relaciona cada ângulo interno de um polígono inscrito à medida do arco oposto no círculo, e daí escolherar medidas de arco que garantam igualdade de ângulos e desigualdade de lados.

Passo 2

O Teorema do Ângulo Inscrito diz que, num círculo, o ângulo interno alphai formado pelos vértices consecutivos Ai-1,Ai,Ai+1 satisfaz
alphai = tfrac12l(medida do arco Ai-1Ai+1r)
Como queremos alpha1=alpha2=cdots=alphan, todas as medidas dos arcos opostos devem ser iguais. Seja ai a medida do arco entre Ai e Ai+1 (índices módulo n). O arco oposto em Ai é o complemento dos arcos ai-1+ai, ou seja,
360^circ - (ai-1+ai) = constante L Longrightarrow ai-1+ai = 360^circ - L,forall i
Assim obtemos um sistema de somas de arcos constantes, e podemos escolher valores de ai que satisfaçam e sejam não todos iguais entre si.

Passo 3

Exemplo 1: quadrilátero equiangular (todos ângulos de 90^circ) não regular.
Para n=4, cada ângulo interno vale tfrac(4-2)180^circ4=90^circ, logo o arco oposto mede 2cdot90^circ=180^circ e
a1+a2 = a2+a3 = a3+a4 = a4+a1 = 180^circ
Dessa forma a1=a3 e a2=a4, com a1+a2=180^circ. Tome, por exemplo,
a1 = a3 = 50^circ, a2 = a4 = 130^circ
No círculo, marque quatro pontos A1,A2,A3,A4 em ordem de modo que
widehatA1A2=50^circ, widehatA2A3=130^circ, widehatA3A4=50^circ, widehatA4A1=130^circ.
Unindo A1A2A3A4 obtém-se um retângulo inscrito, com ângulos todos de 90^circ mas lados A1A2neqA2A3, logo não é quadrado e nem regular.

Passo 4

Exemplo 2: hexágono equiangular ( alpha=120^circ) não regular.
Para n=6, cada ângulo interno vale tfrac(6-2)180^circ6=120^circ, logo o arco oposto mede 240^circ e
a1+a2 = a2+a3 = cdots = a6+a1 = 360^circ - 240^circ = 120^circ
Isso implica a1=a3=a5 e a2=a4=a6, com a1+a2=120^circ. Escolha, por exemplo,
a1=a3=a5=50^circ, a2=a4=a6=70^circ,
pois 3cdot50^circ+3cdot70^circ=360^circ.
Marque seis pontos B1,dots,B6 no círculo em ordem de modo que
widehatB1B2=50^circ,widehatB2B3=70^circ,widehatB3B4=50^circ,dots,widehatB6B1=70^circ.
Unindo B1B2cdots B6 obtém-se um hexágono inscrito cujos ângulos internos são todos 120^circ, mas os comprimentos de lado alternam dois valores (cordas de 50^circ e de 70^circ), de modo que ele não é regular.

Resposta

Desenho 1: retângulo inscrito não quadrado, com arcos 50^circ,130^circ,50^circ,130^circ.
Desenho 2: hexágono inscrito equiangular de arcos alternados 50^circ,70^circ,50^circ,70^circ,50^circ,70^circ.

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