Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
x^2+y^2-10 x+6 y+4=0

Passo 1

O exercício pede para encontrar o centro e o raio do círculo dado pela equação de segundo grau em x e y. O conteúdo aqui é geometria analítica de círculos, e vamos usar o método de completamento de quadrados para reescrever a equação na forma padrão.

Passo 2

Começamos agrupando os termos em x e em y na equação
x^2 + y^2 - 10x + 6y + 4 = 0
em
x^2 - 10x + y^2 + 6y + 4 = 0
Agora aplicamos completamento de quadrado em x e em y. Lembrando que
x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25
e
y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9
Substituindo esses resultados na equação original temos
(x - 5)^2 - 25 + (y + 3)^2 - 9 + 4 = 0
Agora somamos os termos constantes:
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 - 30 = 0
que fica
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 30

Passo 3

Na forma padrão de um círculo (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, o centro é (a,b) e o raio é r. Aqui temos a = 5, b = -3 e r^2 = 30.

Resposta

O centro é C(5, -3) e o raio é r = \sqrt{30}.

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