Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
9 x^2+9 y^2-6 x+12 y-31=0

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio do círculo cuja equação geral é dada por 9x^2 + 9y^2 - 6x + 12y - 31 = 0. O conteúdo principal aqui é a forma padrão do círculo e vamos precisar completar quadrados para reescrever a equação no formato (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

Passo 2

Como os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais a 9, dividimos toda a equação por 9 para simplificar e obter coeficiente 1 nas variáveis ao quadrado:
x^2 - tfrac69x + y^2 + tfrac129y - tfrac319 = 0
Simplificando os coeficientes:
x^2 - tfrac23x + y^2 + tfrac43y - tfrac319 = 0

Passo 3

Agora vamos completar o quadrado para o termo em x:
x^2 - tfrac23x = l(x - tfrac13r)^2 - tfrac19
e para o termo em y:
y^2 + tfrac43y = l(y + tfrac23r)^2 - tfrac49

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação e movendo as constantes para o outro lado, temos:
l(x - tfrac13r)^2 - tfrac19 + l(y + tfrac23r)^2 - tfrac49 - tfrac319 = 0
Somando as constantes em forma de fração:
-tfrac19 - tfrac49 - tfrac319 = -tfrac369 = -4
Logo a equação fica:
l(x - tfrac13r)^2 + l(y + tfrac23r)^2 = 4

Passo 5

Dessa forma já identificamos a forma padrão do círculo e a partir dela lemos o centro e o raio.

Resposta

Centro = l(tfrac13, -tfrac23r), raio = 2.

Exercícios de Livros Relacionados