Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S=(x,y)mid 4x^2+4y^2-4x+8y-20=0 é uma circunferência e, em caso afirmativo, encontrar seu centro e raio. O conteúdo envolvido é equação geral de cônicas e a técnica de completar quadrados para chegar à forma padrão de um círculo.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 4 para simplificar os coeficientes dos termos quadráticos. Assim obtemos:
x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0

Passo 3

Reagrupamos os termos em x e y de um lado e levamos o -5) para o outro:
x^2 - x + y^2 + 2y = 5

Passo 4

Vamos completar o quadrado em cada variável. Note que
(x - tfrac12)^2 = x^2 - x + tfrac14, (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1

Passo 5

Então adicionamos tfrac14 e 1 ao lado esquerdo, e também ao direito para não alterar a igualdade. O lado direito vira
5 + tfrac14 + 1 = tfrac204 + tfrac14 + tfrac44 = tfrac254

Passo 6

Logo a equação fica na forma padrão:
(x - tfrac12)^2 + (y + 1)^2 = tfrac254

Passo 7

A partir dessa forma, identificamos o centro e o raio da circunferência.

Resposta

É uma circunferência de centro C=(tfrac12,-1) e raio r=tfrac52.

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