Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
P2=(-1,4), Q2=(4,6) e R2=(0,-7).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos P2(-1,4), Q2(4,6) e R2(0,-7). Vamos usar a forma geral da equação de um círculo e a teoria de sistema linear para achar os parâmetros.

Passo 2

A equação geral de um círculo no plano é
x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0,
onde o centro é C = l(-tfracD2, -tfracE2r) e o raio é
r = raizl(D2r)^2 + l(E2r)^2 - F

Passo 3

Substituindo cada ponto na equação geral obtemos o sistema:
Para P2(-1,4):
1 + 16 - D + 4E + F = 0 Longrightarrow -D + 4E + F = -17,
Para Q2(4,6):
16 + 36 + 4D + 6E + F = 0 Longrightarrow 4D + 6E + F = -52,
Para R2(0,-7):
0 + 49 + 0cdot D -7E + F = 0 Longrightarrow -7E + F = -49

Passo 4

Resolvendo o sistema linear começamos por eliminar F:
Subtraindo a equação de R2 das duas primeiras:
(-D + 4E + F) - (-7E + F) = -17 - (-49)Rightarrow -D + 11E = 32, (4D + 6E + F) - (-7E + F) = -52 - (-49)Rightarrow 4D + 13E = -3
Dessa forma, de
- D + 11E = 32, 4D + 13E = -3,
vemos que
D = 11E - 32,
substituindo na segunda:
4(11E - 32) + 13E = -3 Longrightarrow 57E = 125 Longrightarrow E = 12557,
D = 11cdot12557 - 32 = -44957
Finalmente, de -7E + F = -49,
F = -49 + 7E = -49 + 7cdot12557 = -191857

Passo 5

O centro (h,k) e o raio r vêm de
h = -D2 = --449/572 = 449114,
k = -E2 = -125/572 = -125114,
r = raizl(tfracD2r)^2 + l(tfracE2r)^2 - F = raiz(449)^2 + (125)^2114^2 - l(-191857r) = raiz65453012996 approx 7.095

Resposta

Centro l(tfrac449114, -tfrac125114r), raio raiztfrac65453012996approx 7.095.

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