Determine f’(x) para f(x) dada.
4 \operatorname{senh}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 4\,\senh\bigl(x^{2}+1\bigr)
e pede sua derivada f'(x). O conteúdo principal aqui é a derivada de função hiperbólica, junto com a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos chamar a parte interna de
u(x) = x^{2}+1
Assim f(x)=4\,\senh\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=4\cdot \frac{d}{du}\bigl(\senh(u)\bigr)\cdot u'(x).
Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\senh(u)\bigr)=\operatorname{cosh}(u)
e
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.

Passo 3

Substituindo esses resultados em f'(x), obtemos
f'(x)=4\cdot \operatorname{cosh}\bigl(u(x)\bigr)\cdot 2x =8x\,\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}+1\bigr).

Resposta

f'(x)=8x\,\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}+1\bigr).

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