Determine o discriminante
das equações abaixo e então determine a natureza de suas raízes.
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o discriminante de duas equações quadráticas e decidir a natureza de suas raízes. O conteúdo envolvido é a fórmula do discriminante de uma equação do tipo
e o critério que diz: se
as raízes são complexas, se
são reais iguais e se
são reais distintas.
Passo 2
Reescrevendo a primeira equação na forma padrão:
2x − 4x^2 = 1 ⇒ −4x^2 + 2x − 1 = 0.
Aqui temos ,
e
.
2x − 4x^2 = 1 ⇒ −4x^2 + 2x − 1 = 0.
Aqui temos
Passo 3
Para essa primeira equação, usamos a fórmula do discriminante:
Substituindo
,
,
:
Passo 4
Como
, concluímos que a primeira equação tem duas raízes complexas conjugadas.
Passo 5
Para a segunda equação, já está na forma padrão:
4x^2 − 2x + 1 = 0.
Aqui ,
e
.
4x^2 − 2x + 1 = 0.
Aqui
Passo 6
Aplicando novamente a fórmula do discriminante:
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Como
, a segunda equação também tem duas raízes complexas conjugadas.
Resposta
Para ambas as equações o discriminante é
, logo elas têm raízes complexas conjugadas.