Determine o discriminante b^2-4 a c das equações abaixo e então determine a natureza de suas raízes.
2 x-4 x^2=1 ou 4 x^2-2 x+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o discriminante de duas equações quadráticas e decidir a natureza de suas raízes. O conteúdo envolvido é a fórmula do discriminante de uma equação do tipo ax^2+bx+c=0 e o critério que diz: se D<0 as raízes são complexas, se D=0 são reais iguais e se D>0 são reais distintas.

Passo 2

Reescrevendo a primeira equação na forma padrão:
2x − 4x^2 = 1 ⇒ −4x^2 + 2x − 1 = 0.
Aqui temos a=-4, b=2 e c=-1.

Passo 3

Para essa primeira equação, usamos a fórmula do discriminante:
D = b^2 - 4ac
Substituindo a=-4, b=2, c=-1:
D = 2^2 - 4 cdot (-4) cdot (-1) = 4 - 16 = -12

Passo 4

Como D = -12 < 0, concluímos que a primeira equação tem duas raízes complexas conjugadas.

Passo 5

Para a segunda equação, já está na forma padrão:
4x^2 − 2x + 1 = 0.
Aqui a=4, b=-2 e c=1.

Passo 6

Aplicando novamente a fórmula do discriminante:
D = b^2 - 4ac
Substituindo a=4, b=-2, c=1:
D = (-2)^2 - 4 cdot 4 cdot 1 = 4 - 16 = -12

Passo 7

Como D = -12 < 0, a segunda equação também tem duas raízes complexas conjugadas.

Resposta

Para ambas as equações o discriminante é -12, logo elas têm raízes complexas conjugadas.

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