Determine duas bases para o espaço linha de A que não tenham vetores em comum.
A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 & 1 \\\\ 4 & 5 & 6 & 2 \\\\ 3 & 3 & 4 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas bases para o espaço linha de
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 2 & 1\\\\ 4 & 5 & 6 & 2\\\\ 3 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}
que não tenham vetores em comum. Vamos usar eliminação de Gauss para achar o rank (dimensão do espaço linha) e depois extrair duas bases distintas.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss sobre as linhas de A:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 2 & 1\\\\ 4 & 5 & 6 & 2\\\\ 3 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_{3}\to L_{3}-\tfrac12L_{1},\;\dots}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac32 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 2 & 2\\\\ 0 & \tfrac32 & 1 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_{3}\to \tfrac23L_{3},\;L_{4}\to L_{4}-3L_{3},\;L_{5}\to L_{5}-\tfrac32L_{3}}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac23 & \tfrac23\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há pivôs nas colunas 1 e 2, logo \mathrm{rank}(A)=2. O espaço linha de A tem dimensão 2.

Passo 3

Para a primeira base, escolhemos duas linhas originais de A que sejam independentes. Tomemos
\mathbf{v}_1 = (2,1,2,0),\quad \mathbf{v}_2 = (1,2,2,1).
Verificamos que \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{0} implica \alpha=\beta=0, então \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é um conjunto de 2 vetores independentes em um espaço de dimensão 2, ou seja, uma base:
B_1 = \{\,(2,1,2,0),\,(1,2,2,1)\}.

Passo 4

Para a segunda base, escolhemos outras duas linhas de A que também sejam independentes entre si e não coincidam com \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2. Tomemos
\mathbf{w}_1 = (4,5,6,2),\quad \mathbf{w}_2 = (3,3,4,1).
Observamos que \mathbf{w}_1 e \mathbf{w}_2 estão no espaço linha pois \mathbf{w}_1 = 1\cdot\mathbf{v}_1 + 2\cdot\mathbf{v}_2 e \mathbf{w}_2 = 1\cdot\mathbf{v}_1 + 1\cdot\mathbf{v}_2,
e também são independentes (a única combinação \alpha\mathbf{w}_1+\beta\mathbf{w}_2=\mathbf{0} é \alpha=\beta=0). Logo
B_2 = \{\,(4,5,6,2),\,(3,3,4,1)\}
é outra base do espaço linha, com B_1\cap B_2=\emptyset.

Resposta

A duas bases solicitadas são: B_1=\{(2,1,2,0),\,(1,2,2,1)\} B_2=\{(4,5,6,2),\,(3,3,4,1)\}

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