Determine os extremos locais de
usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das-
dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– os extremos locais (usando o teste da derivada segunda);
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– as abscissas dos pontos de inflexão;
– o gráfico de .
– os extremos locais (usando o teste da derivada segunda);
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– as abscissas dos pontos de inflexão;
– o gráfico de
Passo 2
Calcular a derivada primeira e achar os pontos críticos.
A derivada é, usando regra do polinômio,
A derivada é, usando regra do polinômio,
Para achar os críticos, resolvemos
O discriminante é
logo as raízes são
Passo 3
Calcular a derivada segunda e aplicar o teste.
Em
:
→ concavidade para baixo → ponto de máximo local em
.
Em :
Em
→ concavidade para cima → ponto de mínimo local em
.
Passo 4
Calcular as ordenadas dos extremos.
Em :
Em
Em
:
Passo 5
Determinar a concavidade e o ponto de inflexão.
O ponto de inflexão ocorre quando :
O ponto de inflexão ocorre quando
– Para
,
→ concavo para baixo.
– Para ,
→ concavo para cima.
– Para
Passo 6
Ordenada do ponto de inflexão em
:
Passo 7
Esboço do gráfico de
:
– Como ,
e como
,
.
– Máximo local em .
– Inflexão em .
– Mínimo local em .
– O ramo é côncavo para baixo até e côncavo para cima depois.
– Como
– Máximo local em
– Inflexão em
– Mínimo local em
– O ramo é côncavo para baixo até
Resposta
Local máximo:
.
Local mínimo: .
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em .
Ponto de inflexão em .
Gráfico: curva cúbica que sobe de até o máximo em
, depois desce mudando de concavidade em
, alcança o mínimo em
e segue subindo para
.
Local mínimo:
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em
Gráfico: curva cúbica que sobe de