Determine os extremos locais de f usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das- x dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de f.
f(x)=x^{3}+10 x^{2}+25 x-50

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}+10x^{2}+25x-50
e pede:
– os extremos locais (usando o teste da derivada segunda);
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– as abscissas dos pontos de inflexão;
– o gráfico de f.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e achar os pontos críticos.
A derivada é, usando regra do polinômio,
f'(x)=3x^{2}+20x+25.
Para achar os críticos, resolvemos
3x^{2}+20x+25=0.
O discriminante é
\Delta=20^{2}-4\cdot3\cdot25=400-300=100,
logo as raízes são
x=\frac{-20\pm\sqrt{100}}{2\cdot3} =\frac{-20\pm10}{6} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-5, \quad x_{2}=-\frac{5}{3}.

Passo 3

Calcular a derivada segunda e aplicar o teste.
f''(x)=6x+20.
Em x=-5:
f''(-5)=6(-5)+20=-30+20=-10<0
→ concavidade para baixo → ponto de máximo local em x=-5.
Em x=-\tfrac{5}{3}:
f''\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) =6\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)+20 =-10+20=10>0
→ concavidade para cima → ponto de mínimo local em x=-\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Calcular as ordenadas dos extremos.
Em x=-5:
f(-5)=(-5)^{3}+10(-5)^{2}+25(-5)-50 =-125+250-125-50=-50.
Em x=-\tfrac{5}{3}:
f\Bigl(-\tfrac{5}{3}\Bigr) =-\frac{125}{27}+\frac{250}{9}-\frac{125}{3}-50 =-\frac{1850}{27}.

Passo 5

Determinar a concavidade e o ponto de inflexão.
O ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0:
6x+20=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{20}{6}=-\frac{10}{3}.
– Para x<-\tfrac{10}{3}, f''(x)<0 → concavo para baixo.
– Para x>-\tfrac{10}{3}, f''(x)>0 → concavo para cima.

Passo 6

Ordenada do ponto de inflexão em x=-\tfrac{10}{3}:
f\Bigl(-\tfrac{10}{3}\Bigr) =-\frac{1000}{27}+\frac{1000}{9}-\frac{250}{3}-50 =-\frac{1600}{27}.

Passo 7

Esboço do gráfico de f:
– Como x\to-\infty, f(x)\to-\infty e como x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
– Máximo local em \bigl(-5,-50\bigr).
– Inflexão em \bigl(-\tfrac{10}{3},-\tfrac{1600}{27}\bigr).
– Mínimo local em \bigl(-\tfrac{5}{3},-\tfrac{1850}{27}\bigr).
– O ramo é côncavo para baixo até x=-\tfrac{10}{3} e côncavo para cima depois.

Resposta

Local máximo: \bigl(-5,-50\bigr).
Local mínimo: \bigl(-\tfrac{5}{3},-\tfrac{1850}{27}\bigr).
Concavidade para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac{10}{3}\bigr).
Concavidade para cima em \bigl(-\tfrac{10}{3},\infty\bigr).
Ponto de inflexão em \bigl(-\tfrac{10}{3},-\tfrac{1600}{27}\bigr).
Gráfico: curva cúbica que sobe de -\infty até o máximo em (-5,-50), depois desce mudando de concavidade em -\tfrac{10}{3}, alcança o mínimo em \bigl(-\tfrac{5}{3},-\tfrac{1850}{27}\bigr) e segue subindo para +\infty.

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