Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
Uma involução;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de um operador linear involutivo, isto é, um operador T:Vto V em um espaço vetorial de dimensão n tal que T^2 = I.

Passo 2

Uma involução satisfaz T^2 = I, logo seu polinômio mínimo divide x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Isso significa que os únicos autovalores possíveis de T são lambda = 1 e lambda = -1.

Passo 3

Seja m+ = dim E1 a multiplicidade geométrica do autovalor 1 e m- = dim E-1 a multiplicidade geométrica do autovalor -1. Como m+ + m- = n, o polinômio característico de T é dado por

Passo 4

pT(lambda) = (lambda - 1)^m+ , (lambda + 1)^m-

Resposta

pT(lambda) = (lambda - 1)^m+ (lambda + 1)^m-, com m+ + m- = n onde m+ e m- são as multiplicidades dos autovalores +1 e -1, respectivamente.

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