Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
Uma projeção P;
Uma projeção P;
Passo 1
O enunciado pede para achar o polinômio característico de uma projeção linear P definida num espaço vetorial de dimensão n. O conteúdo envolvido é teoria espectral de operadores lineares (autovalores e multiplicidades) e a relação entre núcleo, imagem e multiplicidades dos autovalores.
Passo 2
Uma projeção satisfaz a equação
Isso implica que o polinômio mínimo de P divide
Passo 3
Seja
. Pelo teorema da dimensão (posto-nulidade),
. Cada autovalor aparece com multiplicidade igual à dimensão do seu espaço próprio, logo 1 aparece com multiplicidade r e 0 aparece com multiplicidade
.
Passo 4
Com essas multiplicidades, o polinômio característico de P fica dado por