Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
Uma projeção P;

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio característico de uma projeção linear P definida num espaço vetorial de dimensão n. O conteúdo envolvido é teoria espectral de operadores lineares (autovalores e multiplicidades) e a relação entre núcleo, imagem e multiplicidades dos autovalores.

Passo 2

Uma projeção satisfaz a equação
P^2 = P
Isso implica que o polinômio mínimo de P divide x(x-1), de onde concluímos que os únicos autovalores possíveis são 0 e 1.

Passo 3

Seja r = dim(Im,P). Pelo teorema da dimensão (posto-nulidade), dim(ker P)=n-r. Cada autovalor aparece com multiplicidade igual à dimensão do seu espaço próprio, logo 1 aparece com multiplicidade r e 0 aparece com multiplicidade n-r.

Passo 4

Com essas multiplicidades, o polinômio característico de P fica dado por
chiP(t)=t^n-r(t-1)^r

Resposta

chiP(t)=t^n-r(t-1)^r, onde r=dim(Im,P) e n=dim V.

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