Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
Um múltiplo alpha I da identidade;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico do operador linear T=αI, ou seja, de um múltiplo da identidade em um espaço V de dimensão n. O conteúdo aqui é definição de polinômio característico, que é dado por pT(λ)=det(T-λI). Vamos usar a propriedade de determinante de matrizes escalares.

Passo 2

Em qualquer base de V, a matriz de T é αIn. Logo,
T-λI=αIn-λIn=(α-λ)In

Passo 3

Usando que det(cIn)=c^n, temos
pT(λ)=det((α-λ)In)=(α-λ)^n

Resposta

pT(λ)=(α-λ)^n

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