Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(2 \ln \left(x^{4}+1\right))

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=2\ln\bigl(x^{4}+1\bigr)
e queremos encontrar sua derivada f'(x). O conteúdo usado será a derivada do logaritmo natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar \ln\bigl(x^{4}+1\bigr), aplicamos
  1. a derivada de \ln(u) que é \frac{1}{u}\,u',
  2. o “interno” u(x)=x^{4}+1 cuja derivada é u'(x)=4x^{3}.
    Logo,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{4}+1\bigr) =\frac{1}{x^{4}+1}\cdot4x^{3} =\frac{4x^{3}}{x^{4}+1}.
Como há o fator constante 2 em f(x), multiplicamos por 2:
f'(x)=2\cdot\frac{4x^{3}}{x^{4}+1} =\frac{8x^{3}}{x^{4}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{8x^{3}}{x^{4}+1}.

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