Determine a solução geral do sistema
\begin{gathered} x_{1}-2 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=0 \\\\ -2 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}-5 x_{4}=3 \\\\ 3 x_{1}-6 x_{2}-6 x_{3}+8 x_{4}=2 \end{gathered}

Passo 1

Temos um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=0,\\\\ -2x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-5x_{4}=3,\\\\ 3x_{1}-6x_{2}-6x_{3}+8x_{4}=2. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema via eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e triangularizá-la.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 &\bigm|& 0\\\\ -2 & 4 & 5 & -5 &\bigm|& 3\\\\ 3 & -6 & -6 & 8 &\bigm|& 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo de a_{11} usando combinações lineares:
R_2\leftarrow R_2 + 2R_1
R_3\leftarrow R_3 - 3R_1
Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 &\bigm|& 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 1 &\bigm|& 3\\\\ 0 & 0 & -3 & -1 &\bigm|& 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Zeramos a entrada a_{32} (que já é zero) e combinamos as linhas 2 e 3 para eliminar a coluna 3: R_3\leftarrow R_3 + R_2, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 &\bigm|& 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 1 &\bigm|& 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\bigm|& 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

A última linha diz
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}=5,
ou seja, 0=5,
que é uma contradição. Portanto o sistema não possui solução.

Resposta

O sistema é incompatível (não tem solução).

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