A distância entre os pontos A(k, 1) e B(2 k, k+1) é igual a \sqrt{2}. Determine o valor de k.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(k,1) e B(2k,k+1) e pede que a distância entre eles seja \sqrt{2}. O conteúdo aqui é a fórmula da distância entre dois pontos no plano, que diz que, para A(x_1,y_1) e B(x_2,y_2),
\mathrm{dist}(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

Passo 2

Aplicando a fórmula aos pontos dados, temos
\mathrm{dist}(A,B) =\sqrt{(2k - k)^2 + \bigl((k+1) - 1\bigr)^2} =\sqrt{k^2 + k^2} =\sqrt{2k^2}.

Passo 3

Como essa distância deve ser igual a \sqrt{2}, igualamos e resolvemos:
\sqrt{2k^2}=\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad 2k^2=2 \quad\Longrightarrow\quad k^2=1 \quad\Longrightarrow\quad k=\pm1.

Resposta

k=1 ou k=-1.

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