Esboce um diagrama mostrando que
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) .

Passo 1

Estamos num contexto de geometria vetorial, mostrando graficamente a propriedade de associatividade
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} \;=\; \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) .
Para isso vamos usar a regra “ponta-a-rabo” de soma de vetores e comparar duas maneiras de chegar ao mesmo ponto final.

Passo 2

Desenhe um ponto O (origem do diagrama) e, a partir dele, some os vetores \mathbf{u}, \mathbf{v} e \mathbf{w} em cadeia:
  1. Do ponto O trace o vetor \mathbf{u} até o ponto A.
  2. De A trace o vetor \mathbf{v} até B.
  3. De B trace o vetor \mathbf{w} até C.
    No final, o vetor \overrightarrow{OC} representa
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.

Passo 3

Agora vamos somar primeiro \mathbf{v}+\mathbf{w} e depois somar \mathbf{u}:
  1. De O trace o vetor \mathbf{v} até um ponto D.
  2. De D trace o vetor \mathbf{w} até E.
    Então \overrightarrow{OE}=\mathbf{v}+\mathbf{w}.
  3. A partir de O trace também \mathbf{u} até A.
  4. De A trace o vetor \overrightarrow{AE}, que é igual a \mathbf{v}+\mathbf{w}.
    No final, o vetor \overrightarrow{OE}, depois deslocado para sair de A, coincide em direção e módulo com \overrightarrow{OC}, representando
\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).

Passo 4

Como ambas as construções tip-a-tail levam ao mesmo ponto final C, obtemos o mesmo vetor \overrightarrow{OC} em cada caso. Logo
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} =\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).

Resposta

Esboço típico (interpretação textual do diagrama):
 B --w--> C
 ^ 
 | 
 v
 A 
 ^ 
 | 
u | 
 O --v--> D --w--> E
 \ 
 \ 
 (\(v+w\)) 
 \ 
 > C 
Neste desenho:
  • O→A por \mathbf{u}, A→B por \mathbf{v}, B→C por \mathbf{w} (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.
  • O→D por \mathbf{v}, D→E por \mathbf{w} \mathbf{v}+\mathbf{w}, e então A→C por esse mesmo vetor dá \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).
    Como ambos terminam em C, os vetores são iguais.

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