Para isso vamos usar a regra “ponta-a-rabo” de soma de vetores e comparar duas maneiras de chegar ao mesmo ponto final.
Passo 2
Desenhe um ponto O (origem do diagrama) e, a partir dele, some os vetores \mathbf{u}, \mathbf{v} e \mathbf{w} em cadeia:
Do ponto O trace o vetor \mathbf{u} até o ponto A.
De A trace o vetor \mathbf{v} até B.
De B trace o vetor \mathbf{w} até C.
No final, o vetor \overrightarrow{OC} representa
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.
Passo 3
Agora vamos somar primeiro \mathbf{v}+\mathbf{w} e depois somar \mathbf{u}:
De O trace o vetor \mathbf{v} até um ponto D.
De D trace o vetor \mathbf{w} até E.
Então \overrightarrow{OE}=\mathbf{v}+\mathbf{w}.
A partir de O trace também \mathbf{u} até A.
De A trace o vetor \overrightarrow{AE}, que é igual a \mathbf{v}+\mathbf{w}.
No final, o vetor \overrightarrow{OE}, depois deslocado para sair de A, coincide em direção e módulo com \overrightarrow{OC}, representando
\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).
Passo 4
Como ambas as construções tip-a-tail levam ao mesmo ponto final C, obtemos o mesmo vetor \overrightarrow{OC} em cada caso. Logo
Esboço típico (interpretação textual do diagrama):
B --w--> C
^
|
v
A
^
|
u |
O --v--> D --w--> E
\
\
(\(v+w\))
\
> C
Neste desenho:
O→A por \mathbf{u}, A→B por \mathbf{v}, B→C por \mathbf{w} dá (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.
O→D por \mathbf{v}, D→E por \mathbf{w} dá \mathbf{v}+\mathbf{w}, e então A→C por esse mesmo vetor dá \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).
Como ambos terminam em C, os vetores são iguais.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 2